上积

代数拓扑中，上积或杯积（cup product）是将两个度为p和q的上循环联接起来，形成度为p+q的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合（与分散）分次交换积，将空间X的上同调转变为分次环${\displaystyle H^{*}(X)}$，称作上同调环。上积由詹姆斯·韦德尔·亚历山大、爱德华·切赫与哈斯勒·惠特尼于1935–1938年间提出，1944年塞缪尔·艾伦伯格给出了一般定义。

定义

奇异上同调中，上积构造给出了拓扑空间X的分次上同调环${\displaystyle H^{*}(X)}$ 上的积。

构造始于上链之积：若${\displaystyle \alpha ^{p}}$ 是p上链，且${\displaystyle \beta ^{q}}$ 是q上链，则

${\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})}$ 

其中σ是奇异(p + q) 单纯形，${\displaystyle \iota _{S},S\subset \{0,1,...,p+q\}}$  是S张成的单纯形规范嵌入${\displaystyle (p+q)}$ 单纯形，后者的顶点索引为${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$ 。

非正式地，${\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}}$ 是σ的第p个正面（front face），${\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}}$ 是σ的第q个背面（back face）。

上链${\displaystyle \alpha ^{p}}$ 与${\displaystyle \beta ^{q}}$ 的上积的上边缘（coboundary）为

${\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).}$ 

两个上循环的上积仍是上循环，上边缘与上循环（任意顺序）的积仍是上边缘。上积在上同调中引入了双线性运算

${\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).}$ 

性质

上同调中的上积满足以下特性

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}$ 

因此相应的乘法是分次交换的。

上积的函子性体现在以下方面：若

${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 

是连续函数，

${\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}$ 

是上同调中的诱导同态，则

${\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}$ 

对${\displaystyle H^{*}(Y)}$ 中所有类α、β。也就是说，f ^*是（分次）环同态。

解释

可将上积${\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)}$ 视作由下面的组合诱导而来：

${\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)}$ 

以${\displaystyle X}$ 与${\displaystyle X\times X}$ 的链复形表示，其中第一个映射是克奈映射，第二个映射由对角${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$ 诱导。

这个构成传给商，便给出了良定义的上同调映射，这就是上积。这种方法解释了上同调上积的存在，但没有解释同调上积：${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$ 诱导了映射${\displaystyle \Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)}$ ，但还会诱导映射${\displaystyle \Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)}$ ，后者与我们定义积的方法相反。不过，这在定义下积时是有用的。

上积的这种表达体现了双线性，即${\displaystyle (u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v}$ ；${\displaystyle u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.}$ 

例子

上积可用来区分流形和具有相同上同调群的空间之楔。空间${\displaystyle X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}}$ 与环面T具有相同的上同调群，但具有不同的上积。在X的情况下，与 ${\displaystyle S^{1}}$ 相关的上链的乘法是退化的；而在T中，第一个上同调群中的乘法可用于将环面分解为2胞图，从而使积等于Z（更一般地说是M，此处是基模）。

其他定义

上积与微分形式

在德拉姆上同调中，微分形式的上积由楔积导出。即，两个闭微分形式的楔积属于两个原德拉姆类的上积的德拉姆类。

上积与几何相交

 

环绕数可用链的补上的非零上积定义。这两个链循环在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 变形中的补退化为环面和2球的楔和，其有度为1、不为零的上积。

对于定向流形，有几何启发式，即“上积与相交是对偶的”。^[1][2]

令${\displaystyle M}$ 为${\displaystyle n}$ 维定向光滑流形。若两个余维分别是i、j的子流形${\displaystyle A,B}$ 横截着交，那么它们的交${\displaystyle A\cap B}$ 又是余维是i + j的子流形。将这些流形的基本同调类的像置于包含（inclusion）之中，就可以得到同调上的双线性积，与上积是庞加莱对偶的，即取庞加莱对${\displaystyle [A]^{*},[B]^{*}\in H^{i},H^{j}}$ 则有以下等式：

${\displaystyle [A]^{*}\smile [B]^{*}=[A\cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )}$ .^[1]

同样，环绕数也可用交来定义，将维数移动1，或者用链之补上的非零上积来定义。

梅西积

 

梅西积推广了上积，允许定义“高阶环绕数“，即米尔诺不变量。

主条目：梅西积

上积是二元运算。可以定义三元甚至多元的高阶运算，称作梅西积，是上积的推广。它是一种高阶上同调运算，目前只定义了一部分（只定义了部分三元运算）。

另见

• 奇异同调
• 同调
• 下积
• 梅西积

参考文献

1. Hutchings, Michael. Cup Product and Intersections (PDF). 
2. Ciencias TV, Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie), 2016-12-10 [2018-04-26], （原始内容存档于2021-12-21） 

• James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
• Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
• Allen Hatcher, "Algebraic Topology", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0