嘉當矩陣, 在數學中, 是由法國數學家埃利, 嘉當引入的一類特別矩陣, 最大的應用在於李代數的分類理論, 在有限維代數的表示理論中, 另有其它意義, 李代數, 编辑所謂廣義是具有下述性質的方陣, displaystyle, 各項皆為整數, displaystyle, forall, mathbb, 對角線上的項等於二, displaystyle, forall, 非對角線項非正, displaystyle, rightarrow, displaystyle, forall, leftrightarrow, 存在正對. 在數學中 嘉當矩陣是由法國數學家埃利 嘉當引入的一類特別矩陣 最大的應用在於李代數的分類理論 在有限維代數的表示理論中 嘉當矩陣另有其它意義 李代數 编辑所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣 A a i j displaystyle A a ij 各項皆為整數 i j a i j Z displaystyle forall i j a ij in mathbb Z 對角線上的項等於二 i a i i 2 displaystyle forall i a ii 2 非對角線項非正 i j a i j 0 displaystyle i neq j Rightarrow a ij leq 0 i j a i j 0 a j i 0 displaystyle forall i j a ij 0 Leftrightarrow a ji 0 存在正對角方陣 D displaystyle D 使 A displaystyle A 可以寫成 D S D 1 displaystyle DSD 1 其中 S displaystyle S 是對稱方陣 第四個條件可由第一及第五個條件導出 在第五個條件中 若可取 S displaystyle S 為正定 則稱 A displaystyle A 為嘉當矩陣 若兩個嘉當矩陣差一個排列矩陣的共軛 A P 1 A P displaystyle A P 1 AP 則稱兩者同構 若一嘉當矩陣同構於分塊對角的嘉當矩陣 則稱之為可化的 反之則稱為不可化 由半單李代數可以得到根系 對應的廣義嘉當矩陣定義為 a i j 2 r i r j r i r i displaystyle a ij 2 r i r j over r i r i 其中 r i displaystyle r i 是選定的單根 單李代數對應於不可化嘉當矩陣 不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類 具體方式是取 n displaystyle n 個頂點 n 為嘉當矩陣 A displaystyle A 的階數 將頂點 i j displaystyle i j 以 a i j a j i displaystyle a ij cdot a ji 條邊相連 定義每個頂點的權 w i displaystyle w i 使得 w j w i a i j a j i displaystyle w j w i a ij a ji 若兩個相鄰頂點 i j displaystyle i j 的權不同 則規定邊從權大者指向小者 這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法 有限維代數的表示理論 编辑對於域 F displaystyle F 上的有限維結合代數 A displaystyle A 考慮不可約 F displaystyle F 有限維左 A displaystyle A 模 N 1 N n displaystyle N 1 ldots N n 對每個 1 i n displaystyle 1 leq i leq n 存在唯一的不可分解左射影模 P i displaystyle P i 至多差一個同構 使得 H o m P i N i 0 displaystyle mathrm Hom P i N i neq 0 取 c i j displaystyle c ij 為 N j displaystyle N j 在 P i displaystyle P i 的合成列中作為合成因子的重數 方陣 C c i j displaystyle C c ij 稱為 A displaystyle A 的嘉當矩陣 參考資料 编辑V L Popov Cartan matrix Hazewinkel Michiel 编 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 取自 https zh wikipedia org w index php title 嘉當矩陣 amp oldid 25480073, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,