啁啾質量

在天文物理學裡，一個緻密雙星系統的啁啾質量（chirp mass）定義為^[1][2][3]

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}}$；

其中，${\displaystyle {\mathcal {M}}}$是啁啾質量，${\displaystyle m_{1}}$與${\displaystyle m_{2}}$是兩個星體的質量。

啁啾質量決定了雙星系統因發射引力波失去能量而形成的前階（英语：leading order）軌道演化現象。由於引力波的頻率與軌道頻率有關，啁啾質量決定了雙星系統在旋近階段所發射出的引力波的頻率演化。在引力波數據分析裡，計算啁啾質量比計算兩個星體的個別質量簡單很多。

定義

給定雙星系統的質量分別為${\displaystyle m_{1}}$ 與${\displaystyle m_{2}}$ ，此系統的啁啾質量為^[1][2][3]

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}}$ 。

啁啾質量也可以用其它常見質量參數來表示：

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\mu ^{3/5}M^{2/5}}$ 、

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\left[{\frac {q}{(1+q)^{2}}}\right]^{3/5}M}$ 、

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\eta ^{3/5}M}$ ；

其中，${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}}$ 是總質量，${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ 是約化質量，${\displaystyle q=m_{1}/m_{2}}$ 是質量比，${\displaystyle \eta ={\frac {m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}}$ 是對稱質量比。

軌道演化

在廣義相對論裡，雙星系統的軌道相位演化可以用後牛頓力學近似方法來計算。該方法使用軌道速度${\displaystyle v/c}$ 為微擾項來進行展開。一階引力波頻率演化為^[1]:15

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}f^{11/3}}$ ；

其中， ${\displaystyle f}$ 是頻率，${\displaystyle c}$ 是光速，${\displaystyle G}$ 是萬有引力常數。

假設能夠測量到引力波信號的頻率與頻率的一階導數，則可估算出啁啾質量：^{[4][5][註 1]}

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {c^{3}}{G}}\left({\frac {5}{96}}\pi ^{-8/3}f^{-11/3}{\dot {f}}\right)^{3/5}}$

(1)

若要明確知道每個涉及星體的獨自質量，則必須找出後牛頓展開的更高階項。^[1]

參閱

• 廣義相對論中的克卜勒問題

註釋

1. 重寫方程式（1）為^[6]

   ${\displaystyle {\dot {f}}={\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}f^{11/3}}$ 。

   (2)

   將方程式（2）對於時間做積分，則可得到^[6]

   ${\displaystyle {\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}t+{\frac {3}{8}}f^{-8/3}+C=0}$ ；

   (3)

   其中，${\displaystyle C}$ 是積分常數。

   然後，設定${\displaystyle x\equiv t}$ 、${\displaystyle y\equiv {\frac {3}{8}}f^{-8/3}}$ ，則可對多個數據點(x, y)做直線擬和，從直線的斜率計算出啁啾質量,

參考文獻

1. Cutler, Curt; Flanagan, Éanna E. Gravitational waves from merging compact binaries: How accurately can one extract the binary's parameters from the inspiral waveform?. Physical Review D. 1994, 49 (6): 2658–2697. Bibcode:1994PhRvD..49.2658C. arXiv:gr-qc/9402014  . doi:10.1103/PhysRevD.49.2658. 
2. L. Blanchet; T. Damour; B. R. Iyer; C. M. Will; A. G. Wiseman. Gravitational-Radiation Damping of Compact Binary Systems to Second Post-Newtonian order. Phys. Rev. Lett. (Submitted manuscript). 1995, 74 (3515): 3515–3518 [2018-12-20]. Bibcode:1995PhRvL..74.3515B. PMID 10058225. arXiv:gr-qc/9501027  . doi:10.1103/PhysRevLett.74.3515. （原始内容于2021-04-27）. 
3. L. Blanchet; B. R. Iyer; C. M. Will; A. G. Wiseman. Gravitational waveforms from inspiralling compact binaries to second-post-Newtonian order. Classical and Quantum Gravity. 1996, 13 (575): 575–584. Bibcode:1996CQGra..13..575B. arXiv:gr-qc/9602024  . doi:10.1088/0264-9381/13/4/002. 
4. Abbott, B. P. Properties of the Binary Black Hole Merger GW150914. Physical Review Letters. 2016, 116 (24): 241102. Bibcode:2016PhRvL.116x1102A. PMID 27367378. arXiv:1602.03840  . doi:10.1103/PhysRevLett.116.241102. 
5. Abbott, B. P. Properties of the binary neutron star merger GW170817. 2018. Bibcode:2018arXiv180511579T. arXiv:1805.11579  . 
6. Tiwari, Vaibhav; Klimenko, Sergei; Necula, Valentin; Mitselmakher, Guenakh. Reconstruction of chirp mass in searches for gravitational wave transients. Classical and Quantum Gravity. January 2016, 33 (1): 01LT01. Bibcode:2016CQGra..33aLT01T. arXiv:1510.02426  . doi:10.1088/0264-9381/33/1/01LT01.