卡诺定理, 此條目没有列出任何参考或来源, 2011年4月21日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除, 此条目的主題是一個數學定理, 关于同名的熱力學定理, 請見, 卡諾定理, 熱力學, 设abc为三角形, o为其外心, 则o到abc各边的距离之和为d, displaystyle, begin, aligned, qquad, aligned, 其中r为内切圆半径, r为外接圆半径, 这个定理叫做, 法語, théorème, carno. 此條目没有列出任何参考或来源 2011年4月21日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而移除 此条目的主題是一個數學定理 关于同名的熱力學定理 請見 卡諾定理 熱力學 设ABC为三角形 O为其外心 则O到ABC各边的距离之和为D G D H D F D G D H D F R r displaystyle begin aligned amp qquad DG DH DF amp DG DH DF amp R r end aligned OOA OOB OOC R r 其中r为内切圆半径 R为外接圆半径 这个定理叫做卡诺定理 法語 Theoreme de Carnot 以拉扎尔 卡诺為名 引理 编辑在 A B C displaystyle triangle ABC 中 R displaystyle R 為 A B C displaystyle triangle ABC 之外接圓半徑 且r displaystyle r 為 A B C displaystyle triangle ABC 之內切圓半徑 則 r 4 R sin A 2 sin B 2 sin C 2 displaystyle r 4R sin frac A 2 sin frac B 2 sin frac C 2 證明 编辑假設 A B C displaystyle triangle ABC 為銳角三角形 D displaystyle D 為 A B C displaystyle triangle ABC 之外接圓圓心 D displaystyle D 至 A B C displaystyle triangle ABC 三邊之距離分別為D G displaystyle overline DG D H displaystyle overline DH D F displaystyle overline DF 其中D G displaystyle overline DG 為D displaystyle D 至A B displaystyle overline AB 之距離 D H displaystyle overline DH 為D displaystyle D 至B C displaystyle overline BC 之距離 D F displaystyle overline DF 為D displaystyle D 至A C displaystyle overline AC 之距離 連接D displaystyle D 與B displaystyle B 在 H D B displaystyle triangle HDB 中 根據三角形外心性質 可以得到 D B R displaystyle overline DB R H D B A displaystyle angle HDB angle A 所以 可以得到D H displaystyle overline DH 的表示式 D H R cos A displaystyle overline DH R cos A 同理 亦可得到D G displaystyle overline DG 和D F displaystyle overline DF 的表示式 D G R cos C displaystyle overline DG R cos C D F R cos B displaystyle overline DF R cos B 因此 D G D H D F displaystyle overline DG overline DH overline DF R cos A cos B cos C displaystyle R cos A cos B cos C R 2 cos A B 2 cos A B 2 1 2 sin 2 C 2 displaystyle R 2 cos frac A B 2 cos frac A B 2 1 2 sin 2 frac C 2 R 2 cos p C 2 cos A B 2 1 2 sin p A B 2 sin C 2 displaystyle R 2 cos frac pi C 2 cos frac A B 2 1 2 sin frac pi A B 2 sin frac C 2 R 2 sin C 2 cos A B 2 1 2 cos A B 2 sin C 2 displaystyle R 2 sin frac C 2 cos frac A B 2 1 2 cos frac A B 2 sin frac C 2 R 2 sin C 2 cos A B 2 cos A B 2 1 displaystyle R 2 sin frac C 2 cos frac A B 2 cos frac A B 2 1 R 4 sin A 2 sin B 2 sin C 2 1 displaystyle R 4 sin frac A 2 sin frac B 2 sin frac C 2 1 4 R sin A 2 sin B 2 sin C 2 R displaystyle 4R sin frac A 2 sin frac B 2 sin frac C 2 R 根據引理 即可得證 D G D H D F R r displaystyle overline DG overline DH overline DF R r 此外 若 A B C displaystyle triangle ABC 為鈍角三角形 且 B displaystyle angle B 大於90 displaystyle 90 度 其餘符號假設均與上面相同 則可以得到 D H R cos A displaystyle overline DH R cos A D F R cos p B R cos B displaystyle overline DF R cos pi B R cos B D G R cos C displaystyle overline DG R cos C 所以 D G D H D F displaystyle overline DG overline DH overline DF R cos A cos B cos C displaystyle R cos A cos B cos C R r displaystyle R r 故得證卡諾定理 取自 https zh wikipedia org w index php title 卡诺定理 amp oldid 51003906, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,