勒让德定理

在正数${\displaystyle n!}$的质因数分解中，質数p的指数记作${\displaystyle \nu _{p}(n!)}$，则${\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{k\geq 1}[{n \over p^{k}}]}$。

背景

勒让德定理是由法国数学家勒让德发现证明的。

证明

若把2,3,...,n都分解成了标准分解式，则${\displaystyle \nu _{p}(n!)}$ 就是这n-1个分解式中p的指数和.设其中p的指数为r的有${\displaystyle n_{r}}$ 个(${\displaystyle r\geq 1}$ )，则

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=n_{1}+2n_{2}+3n_{3}+...=\sum _{r\geq 1}rn_{r}\\&=(n_{1}+n_{2}+n_{3}+...)+(n_{2}+n_{3}+...)+(n_{3}+...)=N_{1}+N_{2}+N_{3}+...=\sum _{k\geq 1}N_{k}\end{aligned}}}$ 

其中${\displaystyle N_{k}=n_{k}+n_{k+1}+...=\sum _{r\geq k}n_{r}}$ 恰好是2,3,...,n这n-1个数中能被${\displaystyle p^{k}}$ 除尽的数的个数，即${\displaystyle N_{k}=[{n \over p^{k}}]}$ 得证。

其它表達式

將n以p為基底寫做${\displaystyle n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}}$ （進位制）

定義${\displaystyle {\displaystyle s_{p}(n)=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}}$ 是p底数的數位和，則

${\displaystyle \nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.}$ 

因此勒讓德定理可以用來證明庫默爾定理。

證明

${\displaystyle n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}}$ 

${\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(n!)&=\sum _{i=1}^{\ell }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor \\&=\sum _{i=1}^{\ell }\left(n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{\ell }\sum _{j=i}^{\ell }n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }\sum _{i=1}^{j}n_{j}p^{j-i}\\&=\sum _{j=1}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&=\sum _{j=0}^{\ell }n_{j}\cdot {\frac {p^{j}-1}{p-1}}\\&={\frac {1}{p-1}}\sum _{j=0}^{\ell }\left(n_{j}p^{j}-n_{j}\right)\\&={\frac {1}{p-1}}\left(n-s_{p}(n)\right).\end{aligned}}}$