可加範疇

在範疇論中，一個可加範疇是一個存在有限雙積的預加法範疇。舊文獻所謂的「可加範疇」有時指預可加範疇，在當代理論中則傾向於區別兩者。

一如預可加範疇，對一交換環${\displaystyle k}$也能定義${\displaystyle k}$-可加範疇，可加範疇是${\displaystyle k=\mathbb {Z} }$的情形。

例子

最直接的例子是交換群範疇Ab，此時的有限雙積即群的有限直積。其它常見例子包括：

• 一個環上的左模範疇，包括域或除環上的向量空間範疇。
• 環上的矩陣代數。

基本性質

加法範疇是預可加範疇的特例，因此具有預可加範疇的性質，在此僅考慮可加範疇對雙積的特性：

首先注意到空雙積存在，稱為零對象，記作${\displaystyle 0}$ ；它同時是範疇中的始對象與終對象。

給定加法範疇中的對象${\displaystyle A,B}$ ，考慮與自身的雙積${\displaystyle A^{n}}$ 與${\displaystyle B^{m}}$ ；透過雙積的射影與內射態射，能夠以矩陣表示從${\displaystyle A^{n}}$ 至${\displaystyle B^{m}}$ 的態射；若取${\displaystyle A=B}$ 、${\displaystyle n=m}$ ，則態射的合成對應於方陣乘法。

可加函子

一個預加法範疇間的函子${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ 若在同態集上給出群同態，則稱作可加函子。如果${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}}$ 還是可加範疇，而且${\displaystyle F}$ 保存雙積的交換圖，則稱之為（可加範疇間的）可加函子。換言之：

若${\displaystyle B}$ 是${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ 在${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 中的雙積，設${\displaystyle p_{j}}$ 為相應的投影而${\displaystyle i_{j}}$ 為相應的內射，則${\displaystyle F(B)}$ 是${\displaystyle F(A_{1}),\ldots ,F(A_{n})}$ 的雙積，使得${\displaystyle F(p_{j})}$ 為相應的投影而${\displaystyle F(i_{j})}$ 為相應的內射。

可加範疇間常見的函子都是可加函子。事實上，可以證明加法範疇間的伴隨函子都是可加函子，而範疇論中的重要函子多以伴隨函子的面貌出現。

特殊例子

• 一個預阿貝爾範疇是使每個態射都有核與上核的可加範疇。
• 一個阿貝爾範疇是一個使態射均為嚴格態射的預阿貝爾範疇。

應用最廣的可加範疇通常都是阿貝爾範疇。

文獻

• Nicolae Popescu, 1973, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, Academic Press, Inc.（已絕版） 該書對此主題有仔細介紹