是一个短正合序列。条件 (3)不成立,因为不是阿贝尔群。但条件 (2)成立:我们通过将生成元映到任意二阶循环定义u: C → B。注意条件 (1)不成立:任何映射t: B → A 必然将任何二阶循环映为单位,由拉格朗日定理。但每个置换是两个循环之乘积,故t 是平凡映射,从而tq: A → A 是平凡映射,而不是恒等。
分裂引理, 在数学中, 更准确地是同调代数中, splitting, lemma, 说在任何阿贝尔范畴中, 关于短正合序列的下列陈述是等价的, 给定一个具有映射q, 与r, 的短正合序列, displaystyle, rightarrow, overset, longrightarrow, overset, longrightarrow, rightarrow, 我们写出映射, 可能不存在, 的箭头t, 与u, displaystyle, rightarrow, atop, longrightarrow, atop. 在数学中 更准确地是同调代数中 分裂引理 splitting lemma 说在任何阿贝尔范畴中 关于短正合序列的下列陈述是等价的 给定一个具有映射q 与r 的短正合序列 0 A q B r C 0 displaystyle 0 rightarrow A overset q longrightarrow B overset r longrightarrow C rightarrow 0 我们写出映射 可能不存在 的箭头t 与u 0 A q t B r u C 0 displaystyle 0 rightarrow A q atop longrightarrow atop longleftarrow atop t B r atop longrightarrow atop longleftarrow atop u C rightarrow 0 下列陈述是等价的 1 左分裂 存在一个映射t B A 使得tq 是A 的恒等映射 2 右分裂 存在一个映射u C B 使得ru 是C 的恒等映射 3 直和 B 同构于A 与C 的直和 q 是A 的自然内射而r 是到C 的投影 如果上述陈述成立 短正合序列成为分裂的 这使我们可改进第一同构定理 这一同构定理说在上述短正合序列中C B q A displaystyle C cong B q A 如果序列分裂则B q A u C A C displaystyle B cong q A oplus u C cong A oplus C 而第一同构定理恰是到C 的投影 这是线性代数中秩 零化度定理 V ker T im T displaystyle V approx ker T oplus operatorname im T 的形式 的一个范畴推广 目录 1 证明 2 非阿贝尔群 2 1 部分真 2 2 反例 3 相关条目证明 编辑首先证明 3 蘊含 1 与 2 我们假设 3 成立 取t 为直和到A 的自然投影 取u 为C 到直和的自然内射 为了证明 1 蘊含 3 首先注意到B 中任何元素属于集合 ker t im q 这是因为对B 中任意b b b qt b qt b qt b 显然属于im q 而 b qt b 属于ker t 因为 t b qt b t b tqt b t b tq t b t b t b 0 然后 im q 与ker t 的交集为 0 因若存在a 属于A 使得q a b 以及t b 0 则0 tq a a 从而b 0 这就证明了B 是im q 与ker t 的直和 故对所有b 属于B b 可以惟一地等同于某个a 属于A k 属于ker t 使得b q a k 由正合性 ker rq A 故ker r im q 子序列B C 0蘊涵着r 是映上的 从而对任意c 属于C 存在某个b q a k 使得c r b r q a k r k 故对任意c 属于C 存在k 属于ker t 使得c r k 以及r ker t C 如果r k 0 则k 属于im q 因im q 与ker t 的交集 0 则k 0 从而同态r ker t C 的限制是一个同构 且ker t 同构于C 最后im q 同构于A 因为0 A B 的正合性 故B 同构于A 与C 的直和 这就证明了 3 类似地可证明 2 蕴含 3 B 中任何元素属于集合ker r im u 因为对所有b 属于B b b ur b ur b 这属于in ker r im u ker r 与im u 的交集是 0 因若r b 0以及u c b 则0 ru c c 由正合性 im q ker r 以及q 是一个内射 im q 同构于A 故A 同构于ker r 由于ru 是一个双射 u 是一个内射 故im u 同构于C 所以B 是A 与C 的直和 非阿贝尔群 编辑这里所述的形式 分裂引理在全群范畴中不成立 它不是一个阿贝尔范畴 部分真 编辑 它是部分真的 如果一个群短正合序列是左分裂或是直和 条件1或3 则所有条件成立 对直和这是清楚的 因为直和给出的内射与投影 对一个左分裂序列 映射r t B A C displaystyle r times t colon B to A times C nbsp 给出一个同构 故B 是一个直和 条件3 从而取此同构之逆并与自然内射C A C displaystyle C to A times C nbsp 复合给出一个分裂t 的内射C B displaystyle C to B nbsp 条件2 但是如果一个短正合序列是右分裂的 条件2 则未必是左正合的或是直和 条件1或条件3均未必成立 问题是右分裂的像不必是正规的 在此情形B 是一个半直积 一般不是一个直积 反例 编辑 为了构造一个反例 取最小非阿贝尔群B S 3 displaystyle B cong S 3 nbsp 三个字母的对称群 设A 为交错子群 令C B A 1 displaystyle C B A cong pm 1 nbsp 令q 与r 分别表示包含映射与符号映射 从而 0 A q B r C 0 displaystyle 0 rightarrow A stackrel q longrightarrow B stackrel r longrightarrow C rightarrow 0 nbsp 是一个短正合序列 条件 3 不成立 因为S 3 displaystyle S 3 nbsp 不是阿贝尔群 但条件 2 成立 我们通过将生成元映到任意二阶循环定义u C B 注意条件 1 不成立 任何映射t B A 必然将任何二阶循环映为单位 由拉格朗日定理 但每个置换是两个循环之乘积 故t 是平凡映射 从而tq A A 是平凡映射 而不是恒等 相关条目 编辑第一同构定理 秩 零化度定理 半直积 取自 https zh wikipedia org w index php title 分裂引理 amp oldid 71326428, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,