函數極限, 本條目存在以下問題, 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 2021年11月21日, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权协议, 译文需在编辑摘要注明来源, 或于讨论页顶部标记, href, template, translated, page, html, title, template, translated, page, translated, page, 标签. 本條目存在以下問題 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 2021年11月21日 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 此條目没有列出任何参考或来源 2021年11月21日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 关于与 函數極限 標題相近或相同的条目 請見 极限 在數學中 函數極限 英語 Limit of a function 是微積分的一個基本概念 它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵 函數 f displaystyle f 於 a displaystyle a 的極限為 L displaystyle L 直觀上意為當 x displaystyle x 無限接近 a displaystyle a 時 f x displaystyle f x 便無限接近 L displaystyle L x displaystyle x sin x x displaystyle frac sin x x 1 0 841471 0 1 0 998334 0 01 0 999983 上表所示函數的圖形 請注意在x 0 displaystyle x 0 處取不到值 因為被零除 所以在這一點函數沒有意義 儘管函數sin x x displaystyle frac sin x x 的定義域中不包括 0 但當x displaystyle x 無限接近於零時 sin x x displaystyle frac sin x x 就無限接近於 1 換句話說 x displaystyle x 接近於零時 sin x x displaystyle frac sin x x 的極限是 1 目录 1 正式定義 1 1 動機 1 2 自變量趨於有限值時函數的極限 1 3 自變量趨於無窮大時函數的極限 2 制限極限 2 1 左右極限 3 常用公式 3 1 有理函數 3 2 無理函數 3 3 三角函數 3 4 指數函數 3 5 對數函數 4 參考正式定義 编辑動機 编辑 如果取 d displaystyle delta 為 x displaystyle x 與 a displaystyle a 差距的上限 類似地 取 ϵ displaystyle epsilon 為 f x displaystyle f x 與 L displaystyle L 差距的上限 那根據直觀 可以將函數極限定義為 若對所有的 d gt 0 displaystyle delta gt 0 存在 0 lt ϵ d displaystyle 0 lt epsilon leq delta 使得對所有的 x D f displaystyle x in D f 只要 0 lt x a lt d displaystyle 0 lt left x a right lt delta 就有 f x L lt ϵ displaystyle left f x L right lt epsilon 其中 ϵ d displaystyle epsilon leq delta 是要確保 d displaystyle delta 越來越小時 ϵ displaystyle epsilon 也會越來越小 0 lt x a lt d displaystyle 0 lt left x a right lt delta 是為了凸顯 x displaystyle x 是逼近而非等於 a displaystyle a 但對應的 f x displaystyle f x 是可以等於 L displaystyle L 的 但對於实函数 f x x 2 displaystyle f x x 2 逼近 a 0 displaystyle a 0 時 考慮到 d 1 displaystyle delta geq 1 的部分 在 x 0 2 lt d 2 displaystyle left x 0 right 2 lt delta 2 下是沒有這樣的 ϵ displaystyle epsilon 使得 0 lt ϵ d displaystyle 0 lt epsilon leq delta 且 x 2 0 lt ϵ displaystyle left x 2 0 right lt epsilon 的 但數值上 f x x 2 displaystyle f x x 2 的確在 a 0 displaystyle a 0 時很靠近 0 displaystyle 0 也就是 ϵ d displaystyle epsilon leq delta 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍 上面的例子表明以 x displaystyle x 的變化去限制 f x displaystyle f x 的變化通常是很困難的 但如果反過來從 ϵ displaystyle epsilon 出發 去找怎樣的 x displaystyle x 會讓 f x displaystyle f x 與 L displaystyle L 的差距小於 ϵ displaystyle epsilon 也就是從 若對所有的 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 存在 d gt 0 displaystyle delta gt 0 出發的話 顯然上面 f x x 2 displaystyle f x x 2 的例子只要取 d ϵ displaystyle delta sqrt epsilon 即可 而且在這個定義被滿足的情況下 若進一步取 ϵ displaystyle epsilon 和 d displaystyle delta 的最小值為 x displaystyle x 與 a displaystyle a 差距的上限 還是會有 f x L lt ϵ displaystyle left f x L right lt epsilon 這樣就可以用 ϵ displaystyle epsilon 控制 x displaystyle x 的變化 而滿足 x displaystyle x 趨近於 a displaystyle a 時 f x displaystyle f x 趨近於 L displaystyle L 的直觀想法 但實際上無法確保對所有 d gt 0 displaystyle delta gt 0 都有 x D f displaystyle x in D f 使得 0 lt x a lt d displaystyle 0 lt left x a right lt delta 所以定義函數極限之前必須要求 a displaystyle a 為 D f displaystyle D f 的极限点 但大部分的情況會退而求其次的假設存在 r gt 0 displaystyle r gt 0 使得 f x displaystyle f x 在 0 lt x a lt r displaystyle 0 lt left x a right lt r 都有定義 也就是存在 a displaystyle a 的去心鄰域使 f x displaystyle f x 都有定義 這樣的話 a displaystyle a 會自動成為 D f displaystyle D f 的極限點 自變量趨於有限值時函數的極限 编辑f displaystyle f 為实函数 a R displaystyle a in mathbb R 為 D f displaystyle D f 的極限點且 L R displaystyle L in mathbb R 若 對所有的ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 存在d gt 0 displaystyle delta gt 0 使得對所有的 x D f displaystyle x in D f 只要 0 lt x a lt d displaystyle 0 lt left x a right lt delta 就有 f x L lt ϵ displaystyle left f x L right lt epsilon 或以正式的邏輯符號表述為 ϵ gt 0 d gt 0 x D f 0 lt x a lt d f x L lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists delta gt 0 forall x in D f 0 lt left x a right lt delta Rightarrow left f x L right lt epsilon 則以 lim x a f x L displaystyle lim x to a f x L 表示 稱 L displaystyle L 為實函數 f displaystyle f 於 a displaystyle a 的極限 自變量趨於無窮大時函數的極限 编辑由於 無窮大 不能直接定義成定義域 D f displaystyle D f 的極限點 可以退而求其次假設 對所有的 d gt 0 displaystyle delta gt 0 存在 x D f displaystyle x in D f 使得 x gt d displaystyle x gt delta 也就是直觀上可以用定義域 D f displaystyle D f 裡的點去逼近 無窮大 那在這種條件下 L R displaystyle L in mathbb R 且若 對所有 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 存在 d gt 0 displaystyle delta gt 0 使得對所有的 x D f displaystyle x in D f 只要 x gt d displaystyle x gt delta 時 有 f x L lt ϵ displaystyle left f x L right lt epsilon 或以正式的邏輯符號表述為 ϵ gt 0 d gt 0 x D f x gt d f x L lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists delta gt 0 forall x in D f x gt delta Rightarrow left f x L right lt epsilon 則稱 L displaystyle L 為實函數 f displaystyle f 於正無窮大 displaystyle infty 的極限 記作 lim x f x L displaystyle lim x to infty f x L 類似的 若假設 對所有的 d lt 0 displaystyle delta lt 0 存在 x D f displaystyle x in D f 使得 x lt d displaystyle x lt delta 那在這種條件下 L R displaystyle L in mathbb R 且若 對所有 ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 存在 d lt 0 displaystyle delta lt 0 使得對所有的 x D f displaystyle x in D f 只要 x lt d displaystyle x lt delta 時 有 f x L lt ϵ displaystyle left f x L right lt epsilon 或以正式的邏輯符號表述為 ϵ gt 0 d lt 0 x D f x lt d f x L lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists delta lt 0 forall x in D f x lt delta Rightarrow left f x L right lt epsilon 則稱 L displaystyle L 為實函數 f displaystyle f 於負無窮大 displaystyle infty 的極限 記作lim x f x L displaystyle lim x to infty f x L 制限極限 编辑直觀上來講 從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限 為了把這個概念推廣 需要函數限制的極限 也就是縮小定義域後的極限 定理若 A B D f displaystyle A cup B D f 且a displaystyle a 同時為 A displaystyle A 和 B displaystyle B 的极限点 則 lim x a f x L displaystyle lim x to a f x L 等價於 lim x a f A x L displaystyle lim x to a f A x L 且 lim x a f B x L displaystyle lim x to a f B x L 上述定理的證明只須注意到 a displaystyle a 也必為 D f displaystyle D f 的極限點 然後把函數極限的定義展開 考慮到 A B D f displaystyle A cup B D f 還有對 x A displaystyle x in A 取 d A displaystyle delta A 的和 x B displaystyle x in B 取的 d B displaystyle delta B 那只要取 d displaystyle delta 為 d A displaystyle delta A 和 d B displaystyle delta B 的最小值 對所有 x D f displaystyle x in D f 就有 0 lt x a lt d f x L lt ϵ displaystyle 0 lt left x a right lt delta Rightarrow left f x L right lt epsilon 反過來由原函數 f displaystyle f 推出 f A displaystyle f A 和 f B displaystyle f B 的狀況是非常顯然的 左右極限 编辑 若取 A x D f x a displaystyle A big x in D f x geq a big B x D f x a displaystyle B big x in D f x leq a big 如果假設 a displaystyle a 同時為 A displaystyle A 和 B displaystyle B 的极限点 那 A displaystyle A 和 B displaystyle B 顯然符合上面定理的要求的 而這時 lim x a f A x L displaystyle lim x to a f A x L 這個表達式會被別稱為 L displaystyle L 是實函數 f displaystyle f 於 a displaystyle a 的右極限 也可以用 lim x a f x L displaystyle lim x to a f x L 表示 類似的 lim x a f B x L displaystyle lim x to a f B x L 這個表達式會被別稱為 L displaystyle L 是實函數 f displaystyle f 於 a displaystyle a 的左極限 也可以用 lim x a f x L displaystyle lim x to a f x L 表示 常用公式 编辑有理函數 编辑 以下公式中 n gt 0 a gt 1 displaystyle n gt 0 a gt 1 lim x 1 x n 0 displaystyle lim x to infty frac 1 x n 0 lim x 1 a x 0 displaystyle lim x to infty frac 1 a x 0 lim x 0 1 x displaystyle lim x to 0 1 over x infty lim x 0 1 x displaystyle lim x to 0 1 over x infty 無理函數 编辑 lim x x x 1 displaystyle lim x to infty sqrt x x 1 lim n n n n e displaystyle lim n to infty frac n sqrt n n e 三角函數 编辑 lim x 0 sin x x 1 displaystyle lim x to 0 frac sin x x 1 lim x sin x x 0 displaystyle lim x to infty frac sin x x 0 指數函數 编辑 lim x 1 1 x x lim x 0 1 x 1 x e displaystyle lim x to infty left 1 frac 1 x right x lim x to 0 1 x frac 1 x e lim x 0 e x 1 x 1 displaystyle lim x to 0 frac e x 1 x 1 lim x 0 x x 1 displaystyle lim x to 0 x x 1 對數函數 编辑 lim x 0 ln 1 x x 1 displaystyle lim x to 0 frac ln 1 x x 1 lim x 0 ln x displaystyle lim x to 0 ln x infty lim x ln x displaystyle lim x to infty ln x infty 參考 编辑 取自 https zh wikipedia org w index php title 函數極限 amp oldid 75703204, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,