凹函数

  此條目介紹的是英文为Concave function的函数。关于英文为Convex function的函数，请见「凸函数」。

凹函数（英語：Concave function）是指下境圖（英语：Hypograph (mathematics)）^{[註 1]}为凸集的一类函数。

注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。

定義

如果一個有實值函數f对任意该区间内不相等的x和y和[0,1]中的任意t有

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).}$ 

则我们称f在某區間（或者某個向量空間中的凸集）上是凹的

某函數f:R→R，在x和y之間的每一點z，在圖中的點(z, f(z) )是在以點(x, f(x) )和(y, f(y) )連成的直線之上。

 

性質

如果一個可微函數${\displaystyle f}$ 它的導數${\displaystyle f'}$ 在某區間是單調遞減的，${\displaystyle f}$ 就是凹的：一個凹函數的斜率單調遞減（當中遞減只是代表非遞增而不是嚴格遞減，也代表這容許零斜率的存在。）

如果一個二次可微的函數${\displaystyle f}$ ，它的二階導數${\displaystyle f''(x)}$ 是正值，那麼它的圖像是凸的；如果二階導數${\displaystyle f''(x)}$ 是負值，圖像就會是凹的。

如果凸函數（也就是向上開口的）有一個「底」，在底的任意點就是它的極小值。如果凹函數有一個「頂點」，那麼那個頂點就是函數的極大值。

如果${\displaystyle f(x)}$ 是二次可微的，那麼${\displaystyle f(x)}$ 就是凹的若且唯若${\displaystyle f''(x)}$ 是非正值。如果二階導數是負值的話它就是嚴格凹函數，但相反而言又不一定正確，例如當${\displaystyle f(x)=-x^{4}}$ 。 如果${\displaystyle f}$ 是凹的也是可微的，那麼

${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$ 

一個在${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的連續函數是凹的若且唯若对于任意属于${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的x和y，有

${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$ 

例子

• 函數${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$  和 ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ 都是凹函數因為它們的二階導數永遠都是一個負值。
• 任何線性函數${\displaystyle f(x)=ax+b}$ 既是凸函數也是凹函數。
• 函數${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ 在區間${\displaystyle [0,\pi ]}$ 是凹的。
• 函數${\displaystyle \log |B|}$ 是一個凹函數，當中${\displaystyle |B|}$ 是一個非负定矩陣的行列式。

注释

1. 圖像下方的點的集合

参见

• 凸函数