^Heinbockel, J. H., , Victoria, B.C. Canada: Trafford Publishing: pp. 14, 31, 2001 [2010-04-25], ISBN 1-55369-133-4, (原始内容存档于2020-01-06) 引文格式1维护:冗余文本 (link)
十一月 30, 2023
克罗内克δ函数, 提示, 此条目的主题不是狄拉克δ函数, 也不是克罗内克符号, 在数学中, 克罗内克函数, 又称, 克罗内克δ, displaystyle, delta, 是一个二元函数, 得名于德国数学家利奥波德, 克罗内克, 克罗内克函数的自变量, 输入值, 一般是两个整数, 如果两者相等, 则其输出值为1, 否则为0, displaystyle, delta, left, begin, matrix, matrix, right, 克罗内克函数的值一般简写为, displaystyle, delta, 克罗内. 提示 此条目的主题不是狄拉克d函数 也不是克罗内克符号 在数学中 克罗内克函数 又称克罗内克d函数 克罗内克d d i j displaystyle delta ij 是一个二元函数 得名于德国数学家利奥波德 克罗内克 克罗内克函数的自变量 输入值 一般是两个整数 如果两者相等 则其输出值为1 否则为0 d i j 1 i j 0 i j displaystyle delta ij left begin matrix 1 amp i j 0 amp i neq j end matrix right 克罗内克函数的值一般简写为 d i j displaystyle delta ij 克罗内克函数和狄拉克d函数都使用d作为符号 但是克罗内克d用的时候带两个下标 而狄拉克d函数则只有一个变量 目录 1 其它记法 2 数字信号处理 3 性质 3 1 线性代数中的应用 4 廣義克羅內克函數 5 积分表示 6 参见 7 參考文獻其它记法 编辑另一种标记方法是使用艾佛森括号 得名于肯尼斯 艾佛森 d i j i j displaystyle delta ij i j nbsp 同时 当一个变量为0时 常常会被略去 记号变为 d i displaystyle delta i nbsp d i 1 if i 0 0 if i 0 displaystyle delta i left begin matrix 1 amp mbox if i 0 0 amp mbox if i neq 0 end matrix right nbsp 在线性代数中 克罗内克函数可以被看做一个张量 写作 d j i displaystyle delta j i nbsp 数字信号处理 编辑 nbsp 冲激函数类似的 在数字信号处理中 与克罗内克函数等价的概念是变量为 Z displaystyle mathbb Z nbsp 整数 的函数 d n 1 n 0 0 n 0 displaystyle delta n begin cases 1 amp n 0 0 amp n neq 0 end cases nbsp 这个函数代表着一个冲激或单位冲激 当一个数字处理单元的输入为单位冲激时 输出的函数被称为此单元的冲激响应 性质 编辑克罗内克函数有筛选性 对任意 j Z displaystyle j in mathbb Z nbsp i d i j a i a j displaystyle sum i infty infty delta ij a i a j nbsp 如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间 那么这个性质和狄拉克d函数的定义是一样的 d x y f x d x f y displaystyle int infty infty delta x y f x dx f y nbsp 实际上 狄拉克d函数是根据克罗内克函数而得名的 在信号处理中 两者是同一个概念在不同的上下文中的表现 一般设定 d t displaystyle delta t nbsp 为连续的情况 狄拉克函数 而使用i j k l m and n 等变量一般是在 离散的情况下 克罗内克函数 线性代数中的应用 编辑 在线性代数中 单位矩阵可以写作 d i j i j 1 n displaystyle delta ij i j 1 n nbsp 在看做是张量时 克罗内克张量 可以写作 d j i displaystyle delta j i nbsp 这个 1 1 向量表示 作为线性映射的单位矩阵 迹数 内积 V V K displaystyle V otimes V to K nbsp 映射 K V V displaystyle K to V otimes V nbsp 将数量乘积表示为外积的形式 廣義克羅內克函數 编辑定義廣義克羅內克函數為 n n displaystyle n times n nbsp 矩陣的行列式 以方程式表達為 1 d i 1 i 2 i n j 1 j 2 j n d i 1 j 1 d i 2 j 1 d i n j 1 d i 1 j 2 d i 2 j 2 d i n j 2 d i 1 j n d i 2 j n d i n j n displaystyle delta i 1 i 2 dots i n j 1 j 2 dots j n begin bmatrix delta i 1 j 1 delta i 2 j 1 amp cdots amp delta i n j 1 delta i 1 j 2 delta i 2 j 2 amp cdots amp delta i n j 2 vdots amp ddots amp vdots delta i 1 j n delta i 2 j n amp cdots amp delta i n j n end bmatrix nbsp 其中 d j i displaystyle delta j i nbsp 是個張量函數 定義為 d j i d e f d i j displaystyle delta j i stackrel def delta ij nbsp 以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式 d i m n i j k d m n j k d m j d n k d n j d m k displaystyle delta imn ijk delta mn jk delta m j delta n k delta n j delta m k nbsp d i j m i j k 2 d m k displaystyle delta ijm ijk 2 delta m k nbsp d i j k i j k 6 displaystyle delta ijk ijk 6 nbsp d l m n i j k ϵ i j k ϵ l m n displaystyle delta lmn ijk epsilon ijk epsilon lmn nbsp 其中 ϵ i j k displaystyle epsilon ijk nbsp 和 ϵ l m n displaystyle epsilon lmn nbsp 是列維 奇維塔符號 d i 1 i 2 i n j 1 j 2 j n ϵ j 1 j 2 j n ϵ i 1 i 2 i n displaystyle delta i 1 i 2 dots i n j 1 j 2 dots j n epsilon j 1 j 2 dots j n epsilon i 1 i 2 dots i n nbsp d i 1 i 2 i n 12 n ϵ i 1 i 2 i n displaystyle delta i 1 i 2 dots i n 12 dots n epsilon i 1 i 2 dots i n nbsp d i 1 i 2 i n j 1 j 2 j n T j 1 j 2 j n n T i 1 i 2 i n displaystyle delta i 1 i 2 dots i n j 1 j 2 dots j n T j 1 j 2 dots j n n T i 1 i 2 dots i n nbsp 其中 T j 1 j 2 j n displaystyle T j 1 j 2 dots j n nbsp 是 n displaystyle n nbsp 階張量 积分表示 编辑对任意的整数 n displaystyle n nbsp 运用标准的留数计算 可以将克罗内克函数表示成积分的形式 d x n 1 2 p i z x n 1 d z displaystyle delta x n frac 1 2 pi i oint z x n 1 dz nbsp 其中积分的路径是围绕零点逆时针进行 这个表示方式与下面的另一形式等价 d x n 1 2 p 0 2 p e i x n f d f displaystyle delta x n frac 1 2 pi int 0 2 pi e i x n varphi d varphi nbsp 参见 编辑列維 奇維塔符號 狄拉克测度 英语 Dirac measure 同或门參考文獻 编辑 Heinbockel J H Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics Victoria B C Canada Trafford Publishing pp 14 31 2001 2010 04 25 ISBN 1 55369 133 4 原始内容存档于2020 01 06 引文格式1维护 冗余文本 link 取自 https zh wikipedia org w index php title 克罗内克d函数 amp oldid 60253482, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,