優環

在交換代數中，尤其在代數幾何的應用中，優環（法文：anneau excellent、英文：excellent ring）是一類性質與完備局部環相近的交換諾特環。這類環首先由亞歷山大·格羅滕迪克定義。

代數幾何與數論中出現的諾特環通常都是優環，此外優環也與奇點消解相關；廣中平祐在1964年證明了特徵為零時的奇點消解定理。

定義

以下所論之環皆假定為么交換環。

• 一個包含域 ${\displaystyle k}$  的環 ${\displaystyle R}$  被稱作在 ${\displaystyle k}$  上是幾何正則的，若且唯若對任何有限擴張 ${\displaystyle k'/k}$ ，環 ${\displaystyle R\otimes _{k}k'}$  都是正則的。
• 一個環同態 ${\displaystyle \phi :R\rightarrow S}$  被稱作是正則的，若且唯若它是平坦的，且對任何 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)}$  其纖維 ${\displaystyle S\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$  在剩餘域 ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$  上幾何正則。
• 一個環 ${\displaystyle R}$  被稱作 G-環（或格羅滕迪克環），若且唯若它是諾特環，且所有的形式纖維都是幾何正則的；第二個條件意謂：對任何 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R)}$ ，環同態

${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\rightarrow {\widehat {R_{\mathfrak {p}}}}}$  是正則的。

• 一個環 ${\displaystyle R}$  被稱作是擬優環，若且唯若它是個 G-環，且對任意有限生成的 ${\displaystyle R}$ -代數 ${\displaystyle S}$ ，${\displaystyle \mathrm {Spec} (S)}$  的奇點集是閉的。
• 一個優環是一個泛鏈的擬優環。

實際應用中的諾特環幾乎都是泛鏈的，因此擬優環與優環幾無差別。

若一個局部諾特概形 ${\displaystyle X}$  上有開覆蓋 ${\displaystyle U_{i}}$ ，使得每個 ${\displaystyle U_{i}}$  都是優環的譜，則稱 ${\displaystyle X}$  為優概形。

優環的例子

• 完備局部諾特環，包括域。
• 特徵為零的戴德金環，包括整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$  或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$  上的收斂冪級數環。
• 優環的局部化仍為優環。
• 優環上的有限生成代數仍為優環。

以下將給出一個特徵 ${\displaystyle p>0}$  的一維局部正則環而非優環的例子。設 ${\displaystyle k}$  是一個特徵 p 的域，${\displaystyle [k:k^{p}]=\infty }$ ，令 ${\displaystyle R:=k[[X]]}$ ，更令

${\displaystyle A:=\{\sum _{a_{i}}X^{i}\in R:[k^{p}(a_{1},\cdots ):k^{p}]<\infty \}}$ 

則 ${\displaystyle A}$  有非幾何正則的的形式纖維，故非優環。

凡擬優環皆為永田雅宜環。

優概形與擬優概形

如果一個概形 ${\displaystyle X}$  有仿射開覆蓋 ${\displaystyle X=\bigcup U_{\alpha }}$ ，使得每個 ${\displaystyle U_{\alpha }}$  都是優環的譜，則稱 ${\displaystyle X}$  為優概形。此條件一旦對某個仿射開覆蓋滿足，則被所有仿射開覆蓋滿足。

擬優概形的定義類此。

奇點解消

擬優環與奇點解消問題關係密切，這似乎也是格羅滕迪克定義擬優環的動機。格羅滕迪克在 1965 年觀察到：若能在所有完備的局部諾特整環中消解奇點，則在所有既約的擬優環中亦然。廣中平祐在1964年證明了：特徵為零時，完備局部諾特整環中皆可消解奇點。因此在特徵為零的域上，凡優環皆可消解奇點。反之，若能在諾特環 ${\displaystyle R}$  上的所有有限生成整代數上消解奇點，則 ${\displaystyle R}$  是擬優環。

文獻

• V.I. Danilov, Excellent ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• A. Grothendieck, J. Dieudonne, Eléments de géométrie algébrique （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publ. Math. IHES , 24, section 7 (1965)
• Hironaka, Heisuke Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II. Ann. of Math. (2) 79 (1964), 109-203; ibid. (2) 79 1964 205-326.
• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9, chapter 13.