位移場

力學中的位移場是指物體當中的所有點，其位移向量所組成的向量場^[1][2]。位移向量以一個點或是粒子原來的位置為準，標明其新的位置。例如，固體形變的效果就可以用位置場來表示。

公式

在考慮位移之前，需要定義形變之前的狀態。此狀態下，所有點的座標都知道，而且可以用以下函數描述：

$${\displaystyle {\vec {R}}_{0}:\Omega \to P}$$

 

其中

• ${\displaystyle {\vec {R}}_{0}}$ 是位移向量
• ${\displaystyle \Omega }$ 是物體的所有點
• ${\displaystyle P}$ 是物體的所有點在空間中的位置。

此一狀態也常常是沒有外力的狀態。

給定物體的其他狀態，其中所有點的座標可以用${\displaystyle {\vec {R}}_{1}}$ 來描述，則二個物體狀態之間的位移場為：

$${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{0}}$$

 

其中${\displaystyle {\vec {u}}}$ 是位移場，物體的每一個點都有一個對應的位移向量。

位移分量

 

連續體的運動

物體的位移可以分為二個分量：剛體位移以及形變。

• 剛體位移包括物體的平移或旋轉，物體的形狀、大小都維持不變。
• 形變表示物體形狀或大小的變化，從未形變的組態${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ 變成形變後的組態${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ 。

連續體組態的變化可以用位移場來描述。位移場是物體中所有點的位移向量組合成的場，可以找到形變後組態和形變前組態之間的關係。物體中二點之間的距離改變，若且唯若物體出現形變。若物體有位移，但沒有形變，即為剛體運動。

位移梯度張量

依照Lagrange描述法及Eulerian描述法，可以定義兩種位移梯度張量。

粒子i的位移可以表示為下式。未變形組態${\displaystyle P_{i}}$ 的粒子，在變形組態${\displaystyle p_{i}}$ ，其位移向量為${\displaystyle p_{i}-P_{i}}$ ，以下表示為${\displaystyle u_{i}}$ 或${\displaystyle U_{i}}$ 。

物質坐標（Lagrangian描述法）

用${\displaystyle \mathbf {X} }$ 代替${\displaystyle P_{i}}$ ，用${\displaystyle \mathbf {x} }$ 代替${\displaystyle p_{i}\,\!}$ ，這二個都是從坐標系統原點到對應點的向量，可得位移向量的Lagrangian描述法：

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$$

 

其中${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ 是定義空間（局部参考框架（英语：lab frame））坐標系統基的正交單位向量。

若用物質坐標表示位移場，${\displaystyle \mathbf {u} }$ 會是${\displaystyle \mathbf {X} }$ 的函數，位移場是：

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$

 

其中${\displaystyle \mathbf {b} (t)}$ 是表示剛體移動的位移向量。

位移向量相對物質坐標的偏导数可得物質位移梯度張量${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}$ 。可得

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}}$$

 

其中${\displaystyle \mathbf {F} }$ 是物質位移梯度張量，而${\displaystyle \mathbf {R} }$ 為旋轉。

空間坐標（Eulerian描述法）

在Eulerian描述法下，未變形組態的粒子${\displaystyle P}$ ，延伸到其變形組態的向量為位移向量：

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$$

 

其中${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$ 是定義物質坐標系統的基的正交單位向量。

若用空間坐標表示位移場，${\displaystyle \mathbf {U} }$ 會是${\displaystyle \mathbf {x} }$ 的函數，位移場是：

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

 

空間導數，也就是位移向量相對空間坐標的偏导数，即為空間位移梯度張量${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!}$ ，可得

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,}$$

 

其中${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H} }$ 空間位移梯度張量。

物質坐標和空間坐標的關係

${\displaystyle \alpha _{Ji}}$ 是物質坐標和空間坐標的單位向量${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$ 及${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$ 的方向餘弦，因此

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$

 

${\displaystyle u_{i}}$ 和${\displaystyle U_{J}}$ 的關係為

$${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

 

已知

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$

 

因此

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

 

結合變形組態以及未變形組態的坐標系統

常常會疊合變形組態及未變形組態的坐標系統，是在${\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!}$ 下的結果，而方向餘弦變成克罗内克δ函数

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

 

在材料（未變形）的坐標裡，位移可以表示為：

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$$

 

在空間（已變形）的坐標裡，位移可以表示為：

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

 

相關條目

• 應力
• 应变 (物理学)

參考資料

1. Continuum Mechanics - Kinematics. School of Engineering. Brown University. [2018-07-25]. 
2. 2.080 Lecture 3: The Concept of Stress, Generalized Stresses and Equilibrium (PDF). MIT OpenCourseWare. [2018-07-25].