有限应变理论

有限应变理论（finite strain theory）也稱為大應變理論或大形變理論，是连续介质力学中處理有較大應變或轉動的形變，已不符合无限小应变理论假設下的理論。此情形下，物體在未形變的組態及已形變的組態有明顯的不同。有限应变理论常用於弹性体、塑性變形材料、流体及生物軟組織。

位移場

这个部分摘自：位移場 § 位移分量[编辑]

 

連續體的運動

物體的位移可以分為二個分量：剛體位移以及形變。

• 剛體位移包括物體的平移或旋轉，物體的形狀、大小都維持不變。
• 形變表示物體形狀或大小的變化，從未形變的組態${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ 變成形變後的組態${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$ 。

連續體組態的變化可以用位移場來描述。位移場是物體中所有點的位移向量組合成的場，可以找到形變後組態和形變前組態之間的關係。物體中二點之間的距離改變，若且唯若物體出現形變。若物體有位移，但沒有形變，即為剛體運動。

位移梯度張量

 

連續體的形變

位移梯度張量（deformation gradient tensor）${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$ 和形變前的組態以及目前的組態有關，可以從單位向量${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ 和${\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!}$ 中看出，因此其為二點張量（英语：two-point tensor）。

可以定義二種位移梯度張量。

假設${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ 有連續性，則${\displaystyle \mathbf {F} }$ 存在逆元素${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!}$ ，其中${\displaystyle \mathbf {H} }$ 為空間位移梯度張量（spatial deformation gradient tensor）。 根據隐函数定理^[1]，其雅可比判別式${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)}$ 是非奇點，也就是${\displaystyle J(\mathbf {X} ,t)=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0}$ 。

物質位移梯度張量（material deformation gradient tensor）${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}}$ 表示映射函數或是泛函關係${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ 梯度的二維張量（ 映射函數或是泛函關係${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ 描述連續介質的運動）。材料位移梯度張量可以說明位置向量為${\displaystyle \mathbf {X} \,\!}$ 的物質點的局部形變（也就是相對鄰近點的形變），其作法是對一個點的物質線元素進行线性映射，從原始組態映射到形變後的組態，其中也是假設映射函數${\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!}$ 的連續性，也就是其為${\displaystyle \mathbf {X} }$ 和時間${\displaystyle t\,\!}$ 的可微函数，也就是其形變不會讓crack或是void打開或是關閉。因此可得

$${\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial \mathbf {X} }}\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}={\frac {\partial x_{j}}{\partial X_{K}}}\,dX_{K}\\&=\nabla \chi (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \qquad &{\text{or}}&\qquad dx_{j}=F_{jK}\,dX_{K}\,.\\&=\mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\,d\mathbf {X} \end{aligned}}}$$

 

相關條目

• 无限小应变理论
• 应变协调性
• 曲線坐標（英语：Curvilinear coordinates）
• 應力量測（英语：Stress measures）
• 應變分區（英语：Strain partitioning）

參考資料

1. Lubliner, Jacob. (PDF) Revised. Dover Publications. 2008. ISBN 978-0-486-46290-5. （原始内容 (PDF)存档于2010-03-31）. 

外部連結

• Prof. Amit Acharya's notes on compatibility on iMechanica （页面存档备份，存于互联网档案馆）