亚历山大对偶

在数学中，亚历山大对偶是指由 J.W. Alexander于1915年的研究中所发现一种对偶理论。它在随后由Pavel Alexandrov和Lev Pontryagin等人做了进一步发展。

对于欧氏空间、球面或其他的某些流形的一个子空间 ${\displaystyle X}$，亚历山大对偶可以用于求 ${\displaystyle X^{c}}$ 的同调群。亚历山大对偶是Spanier-Whitehead对偶的一种推广。

定理（亚历山大对偶）^[1]

考虑 n 维球面 ${\displaystyle S^{n}}$  的一个紧子空间${\displaystyle X}$ ，若其局部可缩，则有：

$${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(S^{n}\setminus X)\cong {\tilde {H}}^{n-q-1}(X)}$$

 

其中 ${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$  代表空间 ${\displaystyle X}$  的 ${\displaystyle i}$  维约化同调群，同样，${\displaystyle {\tilde {H}}^{i}(X)}$  代表空间 ${\displaystyle X}$  的 ${\displaystyle i}$  维约化上同调群。

参考文献

1. Munkres, James R. Elements of Algebraic Topology. CRC Press. 1993. ISBN 978-0201627282.