对偶在数学背景当中具有很多种意义，而且，尽管它是“现代数学中极为普遍且重要的概念（a very pervasive and important concept in (modern) mathematics）”[1]并且是“在数学几乎每一个分支中都会出现的重要的一般性主题（an important general theme that has manifestations in almost every area of mathematics）”[2]，但仍然没有一个能把对偶的所有概念统一起来的普适定义。[2]
Gowers, Timothy, III.19 Duality, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press: 187–190, 2008.
Cartier, Pierre, A mad day's work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry, American Mathematical Society. Bulletin. New Series, 2001, 38 (4): 389–408, ISSN 0002-9904, doi:10.1090/S0273-0979-01-00913-2, MR1848254 (a non-technical overview about several aspects of geometry, including dualities)
Artstein-Avidan, Shiri; Milman, Vitali, The concept of duality for measure projections of convex bodies, Journal of functional analysis, 2008, 254 (10): 2648–2666, doi:10.1016/j.jfa.2007.11.008. Also author's site （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
Artstein-Avidan, Shiri; Milman, Vitali, , Electronic research announcements in mathematical sciences, 2007, 14: 42–59 [2011年4月13日], （原始内容存档于2011年7月24日）. Also author's site （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
Dwyer, William G.; Spaliński, J., Homotopy theories and model categories, Handbook of algebraic topology, Amsterdam: North-Holland: 73–126, 1995 [2021-09-09], MR1361887, （原始内容于2021-02-09）
Fulton, William, Introduction to toric varieties, Princeton University Press, 1993, ISBN 978-0-691-00049-7
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph, Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, 1994, ISBN 978-0-471-05059-9, MR1288523
Hartshorne, Robin, Residues and Duality, Lecture Notes in Mathematics 20, Berlin, New York: Springer-Verlag: 20–48, 1966
Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verla, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, OCLC 13348052, MR0463157
Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3, MR842190
Joyal, André; Street, Ross, An introduction to Tannaka duality and quantum groups, Category theory (Como, 1990) (PDF), Lecture notes in mathematics 1488, Berlin, New York: Springer-Verlag: 413–492, 1991 [2011-04-13], MR1173027, （原始内容 (PDF)于2017-08-10）
Lam, Tsit-Yuen, Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98428-5, MR1653294
Loomis, Lynn H., An introduction to abstract harmonic analysis, Toronto-New York-London: D. Van Nostrand Company, Inc.: pp. x+190, 1953 引文格式1维护：冗余文本 (link)
Mazur, Barry, Notes on étale cohomology of number fields, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série, 1973, 6: 521–552, ISSN 0012-9593, MR0344254
Milne, James S., Étale cohomology, Princeton University Press, 1980, ISBN 978-0-691-08238-7
Milne, James S., Arithmetic duality theorems 2nd, Charleston, SC: BookSurge, LLC, 2006 [2011-04-13], ISBN 978-1-4196-4274-6, MR2261462, （原始内容于2021-02-09）
Negrepontis, Joan W., Duality in analysis from the point of view of triples, Journal of Algebra, 1971, 19 (2): 228–253, ISSN 0021-8693, doi:10.1016/0021-8693(71)90105-0, MR0280571
Veblen, Oswald; Young, John Wesley, Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965, MR0179666
Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, 1994, ISBN 978-0-521-55987-4, MR1269324
一月 31, 2023
对偶, 数学, 在数学领域中, 对偶一般来说是以一对一的方式, 常常, 但并不总是, 通过某个对合算子, 把一种概念, 公理或数学结构转化为另一种概念, 公理或数学结构, 如果a的对偶是b, 那么b的对偶是a, 由于对合有时候会存在不动点, 因此a的对偶有时候会是a自身, 比如射影几何中的笛沙格定理, 即是在这一意义下的自对偶, 对偶在数学背景当中具有很多种意义, 而且, 尽管它是, 现代数学中极为普遍且重要的概念, very, pervasive, important, concept, modern, math. 在数学领域中 对偶一般来说是以一对一的方式 常常 但并不总是 通过某个对合算子 把一种概念 公理或数学结构转化为另一种概念 公理或数学结构 如果A的对偶是B 那么B的对偶是A 由于对合有时候会存在不动点 因此A的对偶有时候会是A自身 比如射影几何中的笛沙格定理 即是在这一意义下的自对偶 对偶在数学背景当中具有很多种意义 而且 尽管它是 现代数学中极为普遍且重要的概念 a very pervasive and important concept in modern mathematics 1 并且是 在数学几乎每一个分支中都会出现的重要的一般性主题 an important general theme that has manifestations in almost every area of mathematics 2 但仍然没有一个能把对偶的所有概念统一起来的普适定义 2 在两类对象之间的对偶很多都和配对 pairing 也就是把一类对象和另一类对象映射到某一族标量上的双线性函数相对应 例如 线性代数的对偶对应着把线性空间中的向量对双线性映射到标量上 广义函数及其相关的试验函数也对应着一个配对且在该配对中可用试验函数来对广义函数进行积分 庞加莱对偶从给定流形的子流形之间的配对的角度看同样也对应着交数 3 目录 1 序逆对偶 2 维逆对偶 3 相关条目 4 注释 5 參考資料序逆对偶 编辑一种特别简单的对偶形式来自于序理论 偏序关系P X 的对偶是由同一偏序集组成但关系相反的偏序关系Pd 我们比较熟悉的对偶偏序的例子有 任何集合簇上的子集和超集关系 displaystyle subset 和 displaystyle supset 整数上的因数和倍数关系 人类集合上的后代和祖先关系 为某一偏序P定义的概念会对应到对偶偏序集Pd的对偶概念上 例如 P的极小元对应于Pd的极大元 极小和极大是序理论中的对偶概念 序理论中的其他对偶概念还包括上界和下界 上闭集合和下闭集合 理想和滤子 一种特殊的序逆对偶存在于某个集合S的幂集合中 若A S A displaystyle bar A S setminus A 表示补集 则A B displaystyle A subset B 当且仅当B A displaystyle bar B subset bar A 在拓扑学中 开集和闭集是对偶概念 开集的补是闭的 反之亦然 在拟阵论中 某个给定拟阵的独立集合的补集簇形成另一个拟阵 称作对偶拟阵 在逻辑中 我们可以把非量化公式中变量的成真赋值表示为对该赋值为真的变量集合 成真赋值满足该公式当且仅当该成真赋值的补满足该公式的德摩根定律 逻辑中的全称量词和存在量词也是类似的对偶 偏序可以解释为范畴 在该范畴中存在从x到y的arrow当且仅当偏序中有x y 偏序的序逆对偶可扩展为对偶范畴的概念 即由给定范畴中所有arrow的逆所组成的范畴 后面将要描述的很多具体的对偶都是在此意义下的范畴的对偶 维逆对偶 编辑 The features of the cube and its dual octahedron correspond one for one with dimensions reversed 存在着很多种不同但互相联系的在同一类几何或拓扑对象之间的对偶 不过具有对偶关系的对象在特征维数上是相反的 这方面的经典例子是正多面体的对偶 其中立方体和正八面体形成了一个对偶配对 正十二面体和正二十面体形成了另一个对偶配对 而正四面体是自对偶的 任何一種這類多面體的對偶多面體可作為主要多面體每一面中心點的凸包 相关条目 编辑倒易点阵 伴隨函子注释 编辑 Kostrikin 2001harvnb error no target CITEREFKostrikin2001 help 2 0 2 1 Gowers 2008 p 187 col 1 Gowers 2008 p 189 col 2參考資料 编辑Kostrikin A I Duality Hazewinkel Michiel 编 数学百科全书 Springer 2001 ISBN 978 1 55608 010 4 Gowers Timothy III 19 Duality The Princeton Companion to Mathematics Princeton University Press 187 190 2008 Cartier Pierre A mad day s work from Grothendieck to Connes and Kontsevich The evolution of concepts of space and symmetry American Mathematical Society Bulletin New Series 2001 38 4 389 408 ISSN 0002 9904 doi 10 1090 S0273 0979 01 00913 2 MR1848254 a non technical overview about several aspects of geometry including dualities Artstein Avidan Shiri Milman Vitali The concept of duality for measure projections of convex bodies Journal of functional analysis 2008 254 10 2648 2666 doi 10 1016 j jfa 2007 11 008 Also author s site 页面存档备份 存于互联网档案馆 Artstein Avidan Shiri Milman Vitali A characterization of the concept of duality Electronic research announcements in mathematical sciences 2007 14 42 59 2011年4月13日 原始内容存档于2011年7月24日 Also author s site 页面存档备份 存于互联网档案馆 Dwyer William G Spalinski J Homotopy theories and model categories Handbook of algebraic topology Amsterdam North Holland 73 126 1995 2021 09 09 MR1361887 原始内容存档于2021 02 09 Fulton William Introduction to toric varieties Princeton University Press 1993 ISBN 978 0 691 00049 7 Griffiths Phillip Harris Joseph Principles of algebraic geometry Wiley Classics Library New York John Wiley amp Sons 1994 ISBN 978 0 471 05059 9 MR1288523 Hartshorne Robin Residues and Duality Lecture Notes in Mathematics 20 Berlin New York Springer Verlag 20 48 1966 Hartshorne Robin Algebraic Geometry Berlin New York Springer Verla 1977 ISBN 978 0 387 90244 9 OCLC 13348052 MR0463157 Iversen Birger Cohomology of sheaves Universitext Berlin New York Springer Verlag 1986 ISBN 978 3 540 16389 3 MR842190 Joyal Andre Street Ross An introduction to Tannaka duality and quantum groups Category theory Como 1990 PDF Lecture notes in mathematics 1488 Berlin New York Springer Verlag 413 492 1991 2011 04 13 MR1173027 原始内容存档 PDF 于2017 08 10 Lam Tsit Yuen Lectures on modules and rings Graduate Texts in Mathematics No 189 Berlin New York Springer Verlag 1999 ISBN 978 0 387 98428 5 MR1653294 Lang Serge Algebra Graduate Texts in Mathematics 211 Berlin New York Springer Verlag 2002 ISBN 978 0 387 95385 4 MR1878556 Loomis Lynn H An introduction to abstract harmonic analysis Toronto New York London D Van Nostrand Company Inc pp x 190 1953 引文格式1维护 冗余文本 link Mac Lane Saunders Categories for the Working Mathematician 2nd Berlin New York Springer Verlag 1998 ISBN 978 0 387 98403 2 Mazur Barry Notes on etale cohomology of number fields Annales Scientifiques de l Ecole Normale Superieure Quatrieme Serie 1973 6 521 552 ISSN 0012 9593 MR0344254 Milne James S Etale cohomology Princeton University Press 1980 ISBN 978 0 691 08238 7 Milne James S Arithmetic duality theorems 2nd Charleston SC BookSurge LLC 2006 2011 04 13 ISBN 978 1 4196 4274 6 MR2261462 原始内容存档于2021 02 09 Negrepontis Joan W Duality in analysis from the point of view of triples Journal of Algebra 1971 19 2 228 253 ISSN 0021 8693 doi 10 1016 0021 8693 71 90105 0 MR0280571 Veblen Oswald Young John Wesley Projective geometry Vols 1 2 Blaisdell Publishing Co Ginn and Co New York Toronto London 1965 MR0179666 Weibel Charles A An introduction to homological algebra Cambridge University Press 1994 ISBN 978 0 521 55987 4 MR1269324 取自 https zh wikipedia org w index php title 对偶 数学 amp oldid 74098829, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
