五引理

在同調代數中，五引理是關於交換圖的一個重要引理。五引理可以被視為兩個相對偶的四引理之組合。此結果不只對阿貝爾範疇成立，也對群範疇成立。

陳述

在任一阿貝爾範疇（例如阿貝爾群或模的範疇）或群範疇中，考慮以下的交換圖：

 

五引理的敘述是：如果橫列正合，${\displaystyle m,p}$  是同構，${\displaystyle l}$  是滿射而 ${\displaystyle q}$  是單射，則 ${\displaystyle n}$  是同構。

兩個四引理的敘述是：

(1) 考慮交換圖  

若其橫行正合，${\displaystyle m,p}$  是滿射而 ${\displaystyle q}$  是單射，則 ${\displaystyle n}$  是滿射。

(2) 考慮交換圖  

若其橫行正合，${\displaystyle m,p}$  是單射而 ${\displaystyle l}$  是滿射，則 ${\displaystyle n}$  是單射。

證明

以下採用的證法俗稱「圖追蹤」，它看似繁複，其實習慣後只是例行程序罷了。

為進行圖追蹤，以下假設所論範疇為某個環上的模範疇，因此可以談論對象的元素，並將態射視為模的同態。此時單射、滿射等等性質相應於集合論意義上的性質。根據Mitchell嵌入定理，可導出一般範疇上的情形。

對於群範疇，僅須注意到證明內容未用到群的交換性。

 

1. 設 ${\displaystyle c'\in C'}$ 。
2. 由於 ${\displaystyle p}$  是滿射，存在 ${\displaystyle d\in D}$  使得 ${\displaystyle p(d)=t(c')}$ 。
3. 根據圖的交換性，${\displaystyle u(p(d))=q(j(d))}$ 。
4. 根據正合性， ${\displaystyle \mathrm {Im} (t)=\mathrm {Ker} (u)}$ ，故 ${\displaystyle 0=u(t(c'))=u(p(d))=q(j(d))}$ 。
5. 因為 ${\displaystyle q}$  是單射，${\displaystyle j(d)=0}$ ，故 ${\displaystyle d\in \mathrm {Ker} (j)=\mathrm {Im} (h)}$ 。
6. 於是存在 ${\displaystyle c\in C}$  使得 ${\displaystyle h(c)=d}$ 。
7. 遂有 ${\displaystyle t(n(c))=p(h(c))=t(c')}$ 。因為 ${\displaystyle t}$  是同態，有 ${\displaystyle t(c'-n(c))=0}$ 。
8. 根據正合性，${\displaystyle c'-n(c)\in \mathrm {Im} (s)}$ ，故存在 ${\displaystyle b'\in B'}$  使得 ${\displaystyle s(b')=c'-n(c)}$ 。
9. 因為 ${\displaystyle m}$  是滿射，存在 ${\displaystyle b\in B}$  使得 ${\displaystyle b'=m(b)}$ 。
10. 根據圖的交換性 ${\displaystyle n(g(b))=s(m(b))=c'-n(c)}$ 。
11. 因為 ${\displaystyle n}$  是同態，${\displaystyle n(g(b)+c)=n(g(b))+n(c)=c'-n(c)+n(c)=c'}$ 。
12. 由此可知 ${\displaystyle n}$  是滿射。證畢。

為證明 (2)，在下圖中假設 ${\displaystyle m}$  與 ${\displaystyle p}$  是單射，而 ${\displaystyle l}$  是滿射。

 

1. 設 ${\displaystyle c\in C}$  使得 ${\displaystyle n(c)=0}$ 。
2. 於是 ${\displaystyle t(n(c))=0}$ 。
3. 根據圖的交換性，${\displaystyle p(h(c))=0}$ 
4. 因為 ${\displaystyle p}$  是單射，${\displaystyle h(c)=0}$ 。
5. 根據正合性，存在 ${\displaystyle b\in B}$  使得 ${\displaystyle g(b)=c}$ 。
6. 根據圖的交換性，${\displaystyle s(m(b))=n(g(b))=n(c)=0}$ 。
7. 根據正合性，存在 ${\displaystyle a'\in A'}$  使得 ${\displaystyle r(a')=m(b)}$ 。
8. 因為 ${\displaystyle l}$  是滿射，存在 ${\displaystyle a\in A}$  使得 ${\displaystyle l(a)=a'}$ 。
9. 根據圖的交換性，${\displaystyle m(f(a))=r(l(a))=m(b)}$ 。
10. 因為 ${\displaystyle m}$  是單射，${\displaystyle f(a)=b}$ 。
11. 故 ${\displaystyle c=g(f(a))=0}$ 。
12. 由此可知 ${\displaystyle n}$  是單射。證畢。

結合兩個四引理，便可證得五引理。

應用

五引理通常用於長正合序列：在計算一個對象的同調或上同調群時，我們通常利用一個較簡單的子對象，其同調或上同調已知，再配合長正合序列進行計算。長正合序列本身不一定能確定所求的同調或上同調，此時可以試著以態射比較原對象與一個已知的對象，此態射導出長正合序列的鏈映射，此時五引理有助於決定未知的同調或上同調群。

相關主題

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