乌雷松引理

在拓扑学中，乌雷松引理，有时称为“拓扑学中的第一非平凡事实”，通常用于构造正规空间上不同性质的连续函数。这个定理有广泛的应用，因为所有的度量空间和紧豪斯多夫空间都是正规的。

这个引理是以帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松命名的。

正式表述

乌雷松引理说明，${\displaystyle X}$  是一个正规拓扑空间，当且仅当只要 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$  是 ${\displaystyle X}$  的不交闭子集，就存在一个从 ${\displaystyle X}$  到单位区间 ${\displaystyle [0,1]}$  的连续函数：

${\displaystyle f:X\to [0,1]}$ ，

使得对于所有 ${\displaystyle a\in A}$ ，都有 ${\displaystyle f(a)=0}$ ，而对于所有 ${\displaystyle b\in B}$ ，都有 ${\displaystyle f(b)=1}$ 。

任何满足这个性质的函数f都称为乌雷松函数。

注意 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$  以外的元素 ${\displaystyle x\notin A\cup B}$  並不需要使得 ${\displaystyle f(x)\neq 0}$  或 ${\displaystyle f(x)\neq 1}$ 。这只在完备正规空间中才有可能。

乌雷松引理导致了其它拓扑空间，例如「吉洪诺夫性质」和「完全豪斯多夫空间」的表述。例如，这个引理的一个推论是：正规的T₁空间是吉洪诺夫空间。

证明

 

乌雷松的洋葱函数。

对于每一个二进分数 ${\displaystyle r\in (0,1)}$ ，我们构造 ${\displaystyle X}$  的一个开子集 ${\displaystyle U(r)}$ ，使得：

1. ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$ ，且对于所有的 ${\displaystyle r}$ ，${\displaystyle U(r)\cap B=\varnothing }$ ；
2. 对于 ${\displaystyle r<s}$ ，${\displaystyle U(r)}$  的閉包位于 ${\displaystyle U(s)}$  内。

有了这些集合以后，我们便定义 ${\displaystyle f(x)=\inf _{x\in U(r)}r}$  对于所有 ${\displaystyle x\in X}$ 。利用二进有理数是稠密的事实，便不难证明 ${\displaystyle f}$  是连续的，且具有性质 ${\displaystyle f(A)\subseteq \{0\}}$  和 ${\displaystyle f(B)\subseteq \{1\}}$ 。

为了构造集合 ${\displaystyle U(r)}$ ，我们还需要做更多事情：我们构造集合 ${\displaystyle U(r)}$  和 ${\displaystyle V(r)}$ ，使得：

• 对于所有的 ${\displaystyle r}$ ，都有 ${\displaystyle A\subseteq U(r)}$  且 ${\displaystyle B\subseteq V(r)}$ ；
• 对于所有的 ${\displaystyle r}$ ，${\displaystyle U(r)}$  和 ${\displaystyle V(r)}$  都是开集和不交的；
• 对于 ${\displaystyle r<s}$ ，${\displaystyle V(s)}$  包含在 ${\displaystyle U(r)}$  的补集之内，而 ${\displaystyle V(r)}$  的补集包含在 ${\displaystyle U(s)}$  之内。

由于 ${\displaystyle V(r)}$  的补集是闭集，且含有 ${\displaystyle U(r)}$ ，因此从最后一个条件可以推出上面的条件 (2)。

我们使用数学归纳法。由于 ${\displaystyle X}$  是正规的，我们便可以找出两个不交的开集 ${\displaystyle U(1/2)}$  和 ${\displaystyle V(1/2)}$ ，分别含有 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$ 。现在假设 ${\displaystyle n\geq 1}$ ，且集合 ${\displaystyle U(a/2^{n})}$  和 ${\displaystyle V(a/2^{n})}$  对于 ${\displaystyle a=1,\ldots ,2^{n}-1}$  已经构造了。由于 ${\displaystyle X}$  是正规的，我们便可以找出两个不交的开集，分别含有 ${\displaystyle V(a/2^{n})}$  的补集和 ${\displaystyle U((a+1)/2^{n})}$  的补集。称这两个开集为 ${\displaystyle U((2a+1)/2^{n+1})}$  和 ${\displaystyle V((2a+1)/2^{n+1})}$ ，并验证以上的三个条件成立。

参考文献

• proof of Urysohn's lemma. PlanetMath.