^Euclid's Elements, Book I, Proposition 20. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09]. (原始内容于2017-08-15).
^Euclid's Elements, Book I, Proposition 19. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09]. (原始内容于2021-12-08).
一月 11, 2024
三角不等式, 是數學上的一個不等式, 表示從a到b再到c的距離永不少於從a到c的距離, 亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量, 它除了適用於三角形之外, 還適用於其他數學範疇及日常生活中, 在三角形中, 两条边的长度之和总是大于第三边, 证明所用的三角形, 目录, 几何, 标量, 向量, 實數, 反方向, 參見, 参考文献几何, 编辑标量, 编辑, 在三角形abc中, 这个式子用标量可以写作a, displaystyle, overline, overline, overline, nbsp, 当该式取不等. 三角不等式是數學上的一個不等式 表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離 亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量 它除了適用於三角形之外 還適用於其他數學範疇及日常生活中 在三角形中 两条边的长度之和总是大于第三边 证明所用的三角形 目录 1 几何 1 1 标量 1 2 向量 2 實數 3 反方向 4 參見 5 参考文献几何 编辑标量 编辑 在三角形ABC中 这个式子用标量可以写作A B B C A C displaystyle overline AB overline BC geq overline AC nbsp 当该式取不等号时 可以由欧几里得第五公设导出 欧几里得给出的证明记载于 几何原本 第一卷命题20 证明所用的辅助图像见右 1 现在 我们有三角形ABC 延长A B displaystyle overline AB nbsp 至点D 并使B D B C displaystyle overline BD overline BC nbsp 联结D C displaystyle overline DC nbsp 那么 三角形BCD为等腰三角形 所以 B D C B C D displaystyle angle BDC angle BCD nbsp 记它们均为a displaystyle alpha nbsp 根据欧几里得第五公设 角b displaystyle beta nbsp 也就是 A C D displaystyle angle ACD nbsp 大于角a displaystyle alpha nbsp B C D displaystyle angle BCD nbsp 也就是 B D C displaystyle angle BDC nbsp 由于角b displaystyle beta nbsp 对应边A D displaystyle overline AD nbsp 角a displaystyle alpha nbsp 对应边A C displaystyle overline AC nbsp 因此A D gt A C displaystyle overline AD gt overline AC nbsp 大角对大边 命题19 2 又由于D B B C displaystyle overline DB overline BC nbsp 所以A D A B B D A B B C gt A C displaystyle overline AD overline AB overline BD overline AB overline BC gt overline AC nbsp 即证 如果我们将该式左右各减去B C displaystyle overline BC nbsp 便能得到A B gt A C B C displaystyle overline AB gt overline AC overline BC nbsp 这便是三角不等式的另一种表达方法 三角形的两边之差小于第三边 当该式取等号的时候 其已经不属于欧氏几何的范畴 这种情况只有可能在球面三角形中出现 此时 a b c a b displaystyle left a b right leq c leq a b nbsp 而a b c为三角形三边的长 向量 编辑 用向量的写法 这个不等式可以写成 A C A B B C displaystyle left overrightarrow AC right leq left overrightarrow AB right left overrightarrow BC right nbsp 上式和标量的写法明显是等价的 考虑到A B B C A C displaystyle overrightarrow AB overrightarrow BC overrightarrow AC nbsp 该式也可以写成 A B B C A B B C displaystyle left overrightarrow AB overrightarrow BC right leq left overrightarrow AB right left overrightarrow BC right nbsp 这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的 如果根据向量构建平面直角坐标系 则可以用代数的方式予以证明 还是以右图中的三角形为例子 假设在坐标系中 向量A B displaystyle overrightarrow AB nbsp 的方向向量为 x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 nbsp 向量B C displaystyle overrightarrow BC nbsp 的方向向量为 x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 nbsp 那么因为A B B C A C displaystyle overrightarrow AB overrightarrow BC overrightarrow AC nbsp 得向量A C displaystyle overrightarrow AC nbsp 的方向向量为 x 1 x 2 y 1 y 2 displaystyle x 1 x 2 y 1 y 2 nbsp 因此 A B B C x 1 2 y 1 2 x 2 2 y 2 2 displaystyle left overrightarrow AB right left overrightarrow BC right sqrt x 1 2 y 1 2 sqrt x 2 2 y 2 2 nbsp A C x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 displaystyle left overrightarrow AC right sqrt x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 nbsp 所以 A B B C A C 2 x 1 2 x 2 2 x 1 2 y 2 2 x 2 2 y 1 2 y 1 2 y 2 2 2 x 1 x 2 2 y 1 y 2 displaystyle left overrightarrow AB right left overrightarrow BC right left overrightarrow AC right 2 sqrt x 1 2 x 2 2 x 1 2 y 2 2 x 2 2 y 1 2 y 1 2 y 2 2 2x 1 x 2 2y 1 y 2 nbsp 而 2 x 1 2 x 2 2 x 1 2 y 2 2 x 2 2 y 1 2 y 1 2 y 2 2 2 4 x 1 2 x 2 2 4 x 1 2 y 2 2 4 x 2 2 y 1 2 4 y 1 2 y 2 2 displaystyle 2 sqrt x 1 2 x 2 2 x 1 2 y 2 2 x 2 2 y 1 2 y 1 2 y 2 2 2 4x 1 2 x 2 2 4x 1 2 y 2 2 4x 2 2 y 1 2 4y 1 2 y 2 2 nbsp 2 x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 4 x 1 2 x 2 2 8 x 1 x 2 y 1 y 2 4 y 1 2 y 2 2 displaystyle 2x 1 x 2 2y 1 y 2 2 4x 1 2 x 2 2 8x 1 x 2 y 1 y 2 4y 1 2 y 2 2 nbsp 两者相减再配方 得到 2 x 1 y 2 2 x 2 y 1 2 displaystyle 2x 1 y 2 2x 2 y 1 2 nbsp 该式实际上是 A B B C 2 A C 2 displaystyle left overrightarrow AB right left overrightarrow BC right 2 left overrightarrow AC right 2 nbsp 的值 当且仅当x 1 y 2 x 2 y 1 displaystyle x 1 y 2 x 2 y 1 nbsp 时 该式的值为0 而此时我们可以推出x 1 k x 2 y 1 k y 2 k ℜ displaystyle x 1 kx 2 y 1 ky 2 k in Re nbsp 这说明x 1 displaystyle x 1 nbsp 和x 2 displaystyle x 2 nbsp y 1 displaystyle y 1 nbsp 和y 2 displaystyle y 2 nbsp 都是平行的 而由于x 1 displaystyle x 1 nbsp 也就是向量A B displaystyle overrightarrow AB nbsp 的终点和x 2 displaystyle x 2 nbsp 也就是向量B C displaystyle overrightarrow BC nbsp 的起点是相同的 显然A B displaystyle overrightarrow AB nbsp 和B C displaystyle overrightarrow BC nbsp 共线 这种情况在欧氏几何中是不可能的 只有在非欧几何的情况下才能成立 用y 1 displaystyle y 1 nbsp 和y 2 displaystyle y 2 nbsp 平行也一样能够推出A B displaystyle overrightarrow AB nbsp 和B C displaystyle overrightarrow BC nbsp 共线 其他任何情况 也就是x 1 y 2 x 2 y 1 displaystyle x 1 y 2 neq x 2 y 1 nbsp 时 该式取到不等号 适用于欧氏几何 将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量 同样能够推出三角形的两边之差小于第三边 實數 编辑在实数中 此式依然成立 a b a b displaystyle left a b right leq left a right left b right nbsp 證明如下 考慮到實數的平方必然是非负数 將兩邊平方 使它剩下一套絕對值符號 a 2 2 a b b 2 a 2 2 a b b 2 displaystyle a 2 2ab b 2 leq a 2 left 2ab right b 2 nbsp 2 a b 2 a b displaystyle 2ab leq left 2ab right nbsp 對於 a lt 0 b gt 0 b lt 0 a gt 0 displaystyle a lt 0 b gt 0 lor b lt 0 a gt 0 nbsp 即a b彼此異號 2 a b lt 2 a b displaystyle 2ab lt left 2ab right nbsp 對於 a b 0 a b 0 displaystyle a b leq 0 lor a b geq 0 nbsp 即a b彼此同號 2 a b 2 a b displaystyle 2ab left 2ab right nbsp 像几何中的情况一样 该式的推论为 a b a b a b displaystyle left left a right left b right right leq left a pm b right leq left a right left b right nbsp 反方向 编辑在閔考斯基時空 三角不等式是反方向的 x y x y 对所有 x y displaystyle in nbsp V 使得 x 0 y 0 和 tx ty 0這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到 參見 编辑次可加性参考文献 编辑 Euclid s Elements Book I Proposition 20 mathcs clarku edu 2018 07 09 原始内容存档于2017 08 15 Euclid s Elements Book I Proposition 19 mathcs clarku edu 2018 07 09 原始内容存档于2021 12 08 取自 https zh wikipedia org w index php title 三角不等式 amp oldid 77752702 向量, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,