一階保持

一階保持（First-order hold、FOH）是一種重建信號（英语：signal reconstruction）的數學模型，可以透過傳統的數位類比轉換器（DAC）及稱為積分器的模拟电路完成。一階保持可以將訊號重建為分段線性（英语：Piecewise linear function）近似原始訊號的函數。在實務上，像一階保持或零階保持之類的保持電路有其必要性。根據采样定理，可以將離散後的訊號用狄拉克δ脈衝序列x_s(t)表示，再經過低通滤波器即可還原到原始的訊號。不過實務上無法輸出狄拉克δ脈衝序列。利用傳統的數位類比轉換器以及一些線性類比電路就可以重建預測型或是延遲型的一階保持電路。

雖然在實務上的作法有所不同，但可以將假想的狄拉克δ脈衝序列x_s(t)有特定特性的濾波器（英语：filter (signal processing)）（若是線性時不變系統，可以用冲激响应完全描述其特性），因此每一個脈衝輸入都可以產生正確的分段線性輸出。

基本的一階保持

 

理想取樣訊號x_s(t).

一階保持是利用假想的濾波器（英语：filter (signal processing)）或是線性時不變系統，將理想的取樣訊號

${\displaystyle x_{s}(t)\,}$	${\displaystyle =x(t)\ T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\ }$
	${\displaystyle =T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\ }$

 

分段連續信號x_FOH(t).

轉換為分段線性的訊號。

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\ }$ 

 

一階保持的冲激响应h_FOH(t)（非因果）

所得到的等效冲激响应為

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$ 

其中${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$  是三角形函数

等效頻率響應是冲激响应的傅里叶变换

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(f)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\ }$
	${\displaystyle =\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\ }$

其中${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\ }$ 是正規化的Sinc函数。

可以令s = i 2 π f，得到FOH传递函数的拉普拉斯变换：

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(s)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}}\right)^{2}\ }$

因為一階保持濾波器的衝激響應在t小於0時就已有值，因此此系統是反因果系統。

延遲一階保持

 

有延遲的分段連續信號 x_FOH(t).

延遲一階保持（Delayed first-order hold）有時也稱為因果一階保持（causal first-order hold）和一階保持相同，但輸出會延遲一個取樣週期才輸出，因此會有延遲的分段連續信號

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-T-nT}{T}}\right)\ }$ 

 

因果一階保持的衝激響應h_FOH(t).

其等效冲激响应為

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t-T}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t-T|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t-T|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$ 

其中${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$ 為三角形函数.

等效頻率響應是冲激响应的傅里叶变换

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(f)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\ }$
	${\displaystyle =e^{-i2\pi fT}\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\ }$

可以令s = i 2 π f，得到FOH传递函数的拉普拉斯变换：

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(s)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =\left({\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\right)^{2}\ }$

延遲一階保持為因果系统。冲激响应在t小於0時沒有值。

這類的延遲一階保持可以用增益為H(z) = 1 − z⁻¹的数字滤波器，將数字滤波器（x[n]−x[n−1]）的輸出送到傳統的數位類比轉換器（本質上是零階保持），再用H(s) = 1/(sT)來積分DAC的輸出。

預測型一階保持

 

預測型的分段連續信號x_FOH(t).

預測型一階保持（predictive first-order hold）和上二一個一階保持的差異較大，預測型一階保持是因果系統的假想線性時不變系統，可以將理論取樣信號

${\displaystyle x_{s}(t)\,}$	${\displaystyle =x(t)\ T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\ }$
	${\displaystyle =T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\ }$

轉換為分段線性輸出信號，會用目前取樣以及上一次的取様來線性外推下一個取樣點，此濾波器的輸出為

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,}$	${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(x(nT)+\left(x(nT)-x((n-1)T)\right){\frac {t-nT}{T}}\right)\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\ }$
	${\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\left(\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)-\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {3}{2}}\right)+\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}-1\right)\right)\ }$

 

預測型一階保持的衝激響應h_FOH(t).

其等效冲激响应為

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,}$	${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\left(\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)-\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {3}{2}}\right)+\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}-1\right)\right)\ }$
	${\displaystyle ={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1+{\frac {t}{T}}\right)&{\mbox{if }}0\leq t<T\\{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {t}{T}}\right)&{\mbox{if }}T\leq t<2T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$

其中${\displaystyle \mathrm {rect} (x)\ }$ 為矩形函数，而${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$ 為三角形函数。

等效頻率響應為衝激響應的傅里叶变换。

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(f)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =(1+i2\pi fT)\left({\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\ }$
	${\displaystyle =(1+i2\pi fT)e^{-i2\pi fT}\mathrm {sinc} ^{2}(fT))\ }$

其中${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\ }$ 為Sinc函数。

可以令s = i 2 π f，得到FOH傳遞函數的拉普拉斯变换]：

${\displaystyle H_{\mathrm {FOH} }(s)\,}$	${\displaystyle ={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\ }$
	${\displaystyle =(1+sT)\left({\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\right)^{2}\ }$

此為因果系统。預測型一階保持的衝激響應不會在輸入脈衝之前就出現。

這種分段線性的重建信號方式可以用增益H(z) = 1 − z^{−1</sup的数字滤波器來實現，將數位濾波器的輸出（就是x[n]−x[n−1]）接到理想的傳統數位類比轉換器（其本質上是零階保持），將其輸出接到類比濾波器，其傳遞函數為H(s) = (1+sT)/(sT)。}

相關條目

• 采样定理
• 零階保持
• 双线性插值

外部連結

• Zero order hold and first order hold based interpolation（页面存档备份，存于互联网档案馆）