零階保持

零階保持（zero-order hold）簡稱ZOH，是傳統數位模拟轉換器（DAC）上信號重建（英语：signal reconstruction）的數學模型。此作法會在各取樣區間之間，讓信號維持之前的值，以此方式將离散信号轉換為连续信号，在電子通訊上有許多的應用。

時域模型

 

圖1：在零階保持的時域分析中的時間後移以及時間調整矩形函数

 

圖2：分段常數信號 x_ZOH(t).

零階保持可以從取樣數列x[n]重建為以下的連續時間信號，假設每一個取樣的時間間隔都是T：

${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)\ =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {t-T/2-nT}{T}}\right)\,}$ 

其中${\displaystyle \mathrm {rect} (),}$ 為矩形函数。

函數${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {t-T/2}{T}}\right)}$ 如圖1所示，而${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)\,}$ 是分段常數函数，如圖2所示。

頻域模型

上述ZOH輸出的方程式也可以表示為冲激响应分段常數函数（rect函數）的线性时不变濾波器之輸出，輸入則是狄拉克δ函数乘以取樣數值所產生的脈衝序列。濾波器可以在頻域下進行分析，和其他的信號重建方式進行比較，例如依采样定理建議的惠特克-香農插值公式（英语：Whittaker–Shannon interpolation formula），或是在二個取樣點之間線性內插的一階保持。

在此作法中，會將狄拉克δ函数的脈衝序列x_s(t)經過低通滤波器還原為连续信号 x(t)。

雖然實際的數位類比轉換器（DAC）不是以此方式進行，不過其其特性可以建模為將假想脈衝序列x_s(t)用LTI濾波後所得的特性，而此濾波器的特性是每一個輸入脈衝都可以產生持續到下一個取樣點的常數步階輸出。

一開始先從取樣訊號，配合delta函數建立連續訊號：

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{s}(t)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\\&{}=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT).\end{aligned}}}$ 

其中T的比例是因為將delta函數配合時間調整比例而產生的，其意思是使x_s(t)的平均值等於在取樣的數值，因此低通濾波器的直流增益設定為1即可。有些文獻使用這種比例調整方式^[1]，不過許多文獻不考慮delta函數的係數'T，因此低通濾波器會有一個直流增益T，也就會隨取樣時間而變化。

 

圖4。零階保持h_ZOH(t)的脈衝響應。和圖1的rect函數相同，但其面積為1，因此濾波器的直流增益為1即可

零階保持是假想的濾波器（英语：filter (signal processing)）或线性系統，可以將調變後的迪拉克脈衝x_s(t)轉換為片段連續的訊號（如圖2）。

${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\ }$ 

其等效的冲激响应（如圖4）為：

${\displaystyle h_{\mathrm {ZOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}&{\mbox{if }}0\leq t<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\ }$ 

其等效頻率響應為冲激响应的傅里叶变换。

${\displaystyle H_{\mathrm {ZOH} }(f)\,={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {ZOH} }(t)\}\,={\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}=e^{-i\pi fT}\mathrm {sinc} (fT)\ }$ 

其中${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\ }$ 是正規化的Sinc函数 ${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$  ，常用在數位信號處理中。

ZOH的传递函数拉普拉斯变换可以用將s替代為i 2 π f而得

${\displaystyle H_{\mathrm {ZOH} }(s)\,={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {ZOH} }(t)\}\,={\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\ }$ 

實際的數位類比轉換器（DAC）不會輸出狄拉克δ函数的序列x_s(t)（因此，若是理想的低通濾波，會在取樣前得到獨特的頻寬受限制的訊號），會輸出方波的序列x_ZOH(t)（阶跃函数），因此ZOH在DAC的頻率響應中會有一個本質造成的影響，在頻率較高時，會有輕微的信号衰减（英语：roll-off）（在奈奎斯特频率處降低3.9224 dB，對應sinc(1/2) = 2/π）。此衰減是因為傳統DAC的「保持」特性，不是因為在傳統類比數位轉換器前面的取樣保持電路的影響。

相關條目

• 采样定理
• 一階保持

參考資料

1. Ken C. Pohlmann. Principles of Digital Audio fifth. McGraw-Hill. 2000. ISBN 0-07-144156-5.