多项式矩阵, 提示, 此条目的主题不是矩阵多项式, 也称为λ, 矩阵, 矩阵系数多项式, 不是矩阵多项式, 是数学中矩阵论里的概念, 指系数是多项式的方块矩阵, 使用, 矩阵, 的名称时, 说明系数多项式以λ, 为不定元, 目录, 严格定义, 例子, 性质, 参见, 参考来源严格定义, 编辑给定自然数n, 和系数环r, displaystyle, mathbf, 一个n, 阶a, 为如下形式, displaystyle, lambda, left, lambda, right, leqslant, leqslant. 提示 此条目的主题不是矩阵多项式 多项式矩阵 也称为l 矩阵 矩阵系数多项式 不是矩阵多项式 是数学中矩阵论里的概念 指系数是多项式的方块矩阵 使用 l 矩阵 的名称时 说明系数多项式以l 为不定元 目录 1 严格定义 2 例子 3 性质 4 参见 5 参考来源严格定义 编辑给定自然数n 和系数环R displaystyle mathbf R 一个n 阶多项式矩阵A 为如下形式 1 120 A l a i j l 1 i j n 1 i j n a i j l k 0 d i j a i j k l k R l displaystyle A lambda left a i j lambda right 1 leqslant i j leqslant n quad forall 1 leqslant i j leqslant n a i j lambda sum k 0 d i j a i j k lambda k in mathbf R left lambda right 其中d i j displaystyle d i j 是每个多项式a i j l displaystyle a i j lambda 的次数 如果设其中最大的为d displaystyle d d max 1 i j n d i j displaystyle d max 1 leqslant i j leqslant n d i j 那么多项式矩阵A 也可以表达为 2 232 A k 0 d l k a i j k 1 i j n k 0 d A k l k displaystyle A sum k 0 d lambda k left a i j k right 1 leqslant i j leqslant n sum k 0 d A k lambda k 其中约定当k gt d i j displaystyle k gt d i j 时 a i j k 0 displaystyle a i j k 0 由于多项式矩阵也能被表达为以 数值 矩阵为系数的多项式 所以也被称为矩阵系数多项式 如果最高次系数矩阵A d displaystyle A d 的行列式不为零 则称多项式矩阵A 为为正则多项式矩阵 regular polynomial matrix 2 232 所有n 阶多项式矩阵的集合记为M n R l displaystyle mathcal M n mathbf R left lambda right 或M n R l displaystyle mathcal M n mathbf R left lambda right 2 232前者表示所有以多项式为系数的n 阶方块矩阵的集合 后者表示所有n 阶方块矩阵为系数的多项式的集合 可以验证两者是同构的 例子 编辑所有的数值矩阵都是多项式矩阵 因为可以将每个元素看成一个零多项式 设系数环为实数域 以下是一个3阶多项式矩阵 P 1 x 2 x 0 2 x 2 3 x 2 x 2 1 0 1 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 1 0 2 0 3 0 0 x 0 1 0 0 0 0 0 1 0 x 2 displaystyle P begin pmatrix 1 amp x 2 amp x 0 amp 2x amp 2 3x 2 amp x 2 1 amp 0 end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 2 2 amp 1 amp 0 end pmatrix begin pmatrix 0 amp 0 amp 1 0 amp 2 amp 0 3 amp 0 amp 0 end pmatrix x begin pmatrix 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 end pmatrix x 2 特征矩阵是多项式矩阵的一个例子 设有n 阶数值矩阵A 则特征矩阵实际上是一次多项式矩阵 P A l l I n A displaystyle P A lambda lambda mathbf I n A 而特征矩阵的行列式det l I n A displaystyle det left lambda mathbf I n A right 就是数值矩阵A 的特征多项式 性质 编辑由于多项式代数和矩阵代数的结构特性 环R displaystyle mathbf R 上的所有n 阶多项式矩阵也构成一个代数 两个n 阶多项式矩阵可以互相加减 相乘 并且满足加法交换律和乘法分配律 不满足乘法交换律 用与数值矩阵相同的方式可以定义多项式矩阵的初等变换 相似关系 等价关系 也称为相抵 秩以及行列式 1 121 如果系数环是域 那么可以证明 所有的多项式矩阵都可以对角化 任何一个秩为r n 的多项式矩阵 都可以相抵于一个对角多项式矩阵 a diag d 1 l d 2 l d r l 0 0 displaystyle a operatorname diag d 1 lambda d 2 lambda cdots d r lambda 0 cdots 0 其中的每个非零的对角元素d i l displaystyle d i lambda 都是首一多项式 并且整除下一个对角元素d i 1 l displaystyle d i 1 lambda 这种形式称为多项式矩阵的史密斯标准型 Smith normal form 所有的d i l displaystyle d i lambda 被称为原多项式矩阵的不变因子 1 122 如果将n 阶多项式矩阵看成以n 阶方块矩阵为系数的多项式 可以通过将其中的不定元l 替换为一个n 阶方块数值矩阵B 而得到一个n 阶数值矩阵 这种操作称为多项式矩阵的矩阵替换 由于矩阵乘法不满足交换律 所以替换分为左替换和右替换 2 233 左替换 将 k 0 d A k l k displaystyle sum k 0 d A k lambda k 替换为 k 0 d B k A k displaystyle sum k 0 d B k cdot A k 也记作P l A B displaystyle P l A B 右替换 将 k 0 d A k l k displaystyle sum k 0 d A k lambda k 替换为 k 0 d A k B k displaystyle sum k 0 d A k cdot B k 也记作P r A B displaystyle P r A B 如果系数环是域 那么多项式矩阵之间可以做带余除法 如果A l displaystyle A lambda 和B l displaystyle B lambda 都是多项式矩阵 其中B l 0 displaystyle B lambda neq 0 那么唯一存在多项式矩阵Q l displaystyle Q lambda 和R l displaystyle R lambda 满足 A l B l Q l R l displaystyle A lambda B lambda Q lambda R lambda R l displaystyle R lambda 作为多项式的次数严格小于B l displaystyle B lambda 或者为零 参见 编辑特征多项式 不变因子 初等因子参考来源 编辑 1 0 1 1 1 2 方保鎔 周继东 李医民 矩阵论 北京 清华大学出版社 2004 ISBN 9787302092087 2 0 2 1 2 2 2 3 K B Datta Matrix and Linear Algebra PHI Learning Pvt Ltd 2004 ISBN 9788120306363 英语 取自 https zh wikipedia org w index php title 多项式矩阵 amp oldid 70641916, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,