圓柱坐標系, 英語, cylindrical, coordinate, system, 是一種三維坐標系統, 它是二維極坐標系往, 軸的延伸, 添加的第三個坐標, displaystyle, 專門用來表示, 點離, 平面的高低, 按照國際標準化組織建立的約定, 徑向距離, 方位角, 高度, 分別標記為, displaystyle, 用圓柱坐標, displaystyle, 來表示一個點的位置, 目录, 定義, 符號約定, 坐標系變換, 直角坐標系, 球坐標系, 圆柱坐标系下的微积分公式, 應用, 参见, 參閱定義,. 圓柱坐標系 英語 cylindrical coordinate system 是一種三維坐標系統 它是二維極坐標系往 z 軸的延伸 添加的第三個坐標 z displaystyle z 專門用來表示 P 點離 xy 平面的高低 按照國際標準化組織建立的約定 ISO 31 11 徑向距離 方位角 高度 分別標記為 r ϕ z displaystyle rho phi z 用圓柱坐標 r ϕ z displaystyle rho phi z 來表示一個點的位置 目录 1 定義 2 符號約定 3 坐標系變換 3 1 直角坐標系 3 2 球坐標系 4 圆柱坐标系下的微积分公式 5 應用 6 参见 7 參閱定義 编辑 圓柱坐標 r ϕ z displaystyle rho phi z 的坐標曲面 紅色圓柱面的 r 2 displaystyle rho 2 藍色平面的 z 1 displaystyle z 1 黃色半平面的 ϕ 60 displaystyle phi 60 circ z 軸是垂直的 以白色表示 x 軸以綠色表示 三個坐標曲面相交於點 P 以黑球表示 點 P 的直角坐標大約為 1 0 1 732 1 0 displaystyle 1 0 1 732 1 0 如圖右 P 點的圓柱坐標是 r ϕ z displaystyle rho phi z r displaystyle rho 是 P 點與 z 軸的垂直距離 ϕ displaystyle phi 是線 OP 在 xy 面的投影線與正 x 軸之間的夾角 z displaystyle z 與直角坐標的 z displaystyle z 等值 符號約定 编辑圓柱坐標系的記號並不統一 ISO標準31 11推薦 r f z 這裡的r 是徑向距離 f 是方位角 而z 是高度 但是 徑向距離也常表示為r 或s 方位角也常表示為8 或t 高度坐標也常表示為h 或x 如果圓柱軸被認為是水平的 或任何特定於上下文的字母 坐標系變換 编辑三維空間裏 有許多各種各樣的坐標系 圓柱坐標系只是其中一種 圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式 直角坐標系 编辑 更多信息 直角坐標系 使用以下方程式 可以從直角坐標變換為圓柱坐標 r x 2 y 2 displaystyle rho sqrt x 2 y 2 ϕ arctan y x displaystyle phi arctan left frac y x right z z displaystyle z z 特別注意 當求取方位角時 必須依照 x y displaystyle x y 所處的象限來計算正確的反正切值 相反地 可以從圓柱坐標變換為直角坐標 x r cos ϕ displaystyle x rho cos phi y r sin ϕ displaystyle y rho sin phi z z displaystyle z z 球坐標系 编辑 用球坐標 r 8 ϕ displaystyle r theta phi 來表示一個點的位置 更多信息 球坐標系 使用以下方程式 可以從球坐標變換為圓柱坐標 r r sin 8 displaystyle rho r sin theta ϕ ϕ displaystyle phi phi z r cos 8 displaystyle z r cos theta 相反地 可以從圓柱坐標變換為球坐標 r r 2 z 2 displaystyle r sqrt rho 2 z 2 8 arctan r z displaystyle theta arctan frac rho z ϕ ϕ displaystyle phi phi 圆柱坐标系下的微积分公式 编辑圓柱坐標系的坐標因子分別為 h r 1 displaystyle h rho 1 h ϕ r displaystyle h phi rho h z 1 displaystyle h z 1 在許多關於圓柱坐標系的問題中 我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式 用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題 線元素是 d r d r r r d f f d z z displaystyle mathrm d mathbf r mathrm d rho boldsymbol hat rho rho mathrm d varphi boldsymbol hat varphi mathrm d z mathbf hat z 面積元素是 d S r d f d z displaystyle mathrm d S rho d varphi dz 體積元素是 d V r d r d f d z displaystyle mathrm d V rho mathrm d rho mathrm d varphi mathrm d z 劈形算符表示為 r r f 1 r f z z displaystyle nabla boldsymbol hat rho frac partial partial rho boldsymbol hat varphi frac 1 rho frac partial partial varphi mathbf hat z frac partial partial z 拉普拉斯算子是 2 F 1 r r r F r 1 r 2 2 F ϕ 2 2 F z 2 displaystyle nabla 2 Phi 1 over rho partial over partial rho left rho partial Phi over partial rho right 1 over rho 2 partial 2 Phi over partial phi 2 partial 2 Phi over partial z 2 其它微分算子 像 F displaystyle nabla cdot mathbf F F displaystyle nabla times mathbf F 都可以用 r ϕ z displaystyle rho phi z 坐標表示 只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式 應用 编辑圓柱坐標常被用來分析 選用 z 軸為對稱軸 有軸對稱特性的物體 例如 一個無限長的圓柱 具有直角坐標方程式 x 2 y 2 c 2 displaystyle x 2 y 2 c 2 用圓柱坐標來表示 有一個非常簡易的方程式 r c displaystyle rho c 這也是圓柱坐標系名稱的由來 参见 编辑在圆柱和球坐标系中的del參閱 编辑 取自 https zh wikipedia org w index php title 圓柱坐標系 amp oldid 55055216, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,