施图姆-刘维尔理论

在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆（1803–1855）和约瑟夫·刘维尔（1809–1882）的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程：

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\!\!\left[\,p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,}$$

(1)

其中给定系数函数p(x), q(x), 和w(x)均为已知函数，和y是以x为自由变量的未知的待求解函数，称为解；${\displaystyle \lambda }$是一个未定常数。w(x)又记为r(x)，称为'权（weight）'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。

在一个正则的施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题中，在有界闭区间[a,b]上，三个系数函数${\displaystyle p(x),w(x),q(x)}$应满足以下性质：

• ${\displaystyle p(x)>0,w(x)>0}$；
• ${\displaystyle p(x),p'(x),w(x),q(x)}$ 均连续；
• ${\displaystyle y(x)}$ 满足边界条件 ${\displaystyle \alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0}$ 及 ${\displaystyle \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0}$（${\displaystyle \alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}>0,\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}>0}$）。

只有一些恰当的${\displaystyle \lambda }$能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些${\displaystyle \lambda }$称为方程的特徵值，对应的非平凡解称为特徵函数，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出：

• 施图姆-刘维尔特徵值问题，存在无限多个实数特徵值，而且可以排序为：

${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots ,\lim _{n\rightarrow \infty }\lambda _{n}=\infty }$；

• 对于每一个特徵值${\displaystyle \lambda _{n}}$都有唯一的（已被归一化的）特徵函数${\displaystyle y_{n}(x)}$，且${\displaystyle y_{n}(x)}$在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中${\displaystyle y_{n}(x)}$称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解；
• 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间${\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)}$上有正交性和完备性，形成一组正交基：

${\displaystyle \int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn}}$

其中${\displaystyle \delta _{mn}}$是克罗内克函数。

一些函数的施图姆-刘维尔形式

只要乘以一个恰当的积分因子，所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

贝塞尔方程

${\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu ^{2})y=0\,}$ 

等价于：

${\displaystyle (xy')'+(x-\nu ^{2}/x)y=0.\,}$ 

勒让德方程

${\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0\;\!}$ 

注意到 D(1 − x²) = −2x，因此等价于：

${\displaystyle [(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0\;\!}$ 

二体系统施图姆-刘维尔方程

二体问题常用的换元的技巧是通过 ${\displaystyle u=1/r\!}$  和 ${\displaystyle {\dot {\theta }}=Lu^{2}/m\!}$  将原方程中对时间的求导转化为对角度 ${\displaystyle \theta \!}$  的求导，并得到Sturm-Liouville型方程^[1]

${\displaystyle (Lu')'+Lu=1/L\!}$ 

使用积分因子的例子

${\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0.\,}$ 

两边同时除以x³:

${\displaystyle y''-{x \over x^{3}}y'+{2 \over x^{3}}y=0}$ 

再乘以积分因子：

${\displaystyle \mu (x)=e^{\int -{x/x^{3}}\,\mathrm {d} x}=e^{\int -{1/x^{2}}\,\mathrm {d} x}=e^{1/x},}$ 

得到：

${\displaystyle e^{1/x}y''-{e^{1/x} \over x^{2}}y'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0}$ 

又注意到：

${\displaystyle De^{1/x}=-{e^{1/x} \over x^{2}}}$ 

因此原方程等价于：

${\displaystyle (e^{1/x}y')'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0.}$ 

一般形式二阶常微分方程的积分因子

${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,}$ 

两边同时乘以积分因子：

${\displaystyle \mu (x)={1 \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x},}$ 

整理后得到：

${\displaystyle {d \over dx}(\mu (x)P(x)y')+\mu (x)R(x)y=0}$ 

或者把积分因子写出来：

${\displaystyle {d \over dx}(e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y')+{R(x) \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y=0}$ 

参阅

• 简正模

参考文献

1. Luo, Siwei. The Sturm-Liouville problem of two-body system. Journal of Physics Communications. 22 June 2020, 4 (6): 061001. Bibcode:2020JPhCo...4f1001L. doi:10.1088/2399-6528/ab9c30  .