形式定义 编辑
形式的说，偏序集合 (D, ≤) 叫做斯科特域，如果下列成立:
- D 是有向完全的，就是说，所有 D 的有向子集都有上确界。
- D 是有界完全的，就是说，有某个上界的 D 的所有子集都有上确界。
- D 是代数的，就是说，D 的所有元素可以获得为 D 的紧致元素的有向集合的上确界。
性质 编辑
因为空集当然有上界，我们从有界完全性得出最小元(空界的上确界)的存在性。还要注意尽管术语 "斯科特域"广泛的用于这个定义，术语"域"没有一般性意义: 它可以用于称呼在域理论中的很多结构并通常在使用前作出解释。但是，"域"确实是 斯科特自己最初用于这些结构的。此外，在某些出版物中 斯科特域常以其他名字如"代数半格"出现。
应当记住有界完全的性质等价于所有非空下确界的存在性。周知所有下确界的存在性蕴涵了所有上确界的存在性，并因此使偏序集合成为完全格。因此，当顶元素(空集的下确界)被连接(adjoin)到 斯科特域，可以得出:
- 新顶元素是紧致的(因为次序以前是有向完全的)，
- 结果的偏序集合将是代数格。
反过来，斯科特域在一定意义上"几乎"就是代数格。
斯科特域密切相关于斯科特信息系统，它组成了斯科特域的"语法"表示。
例子 编辑
- 所有有限偏序集合是有向完全和代数的。因此任何有界完全有限偏序集合很平常的就是斯科特域。
- 自然数集带补充的顶元素 ω 构成了代数格，因此也是斯科特域。在此方面的更多例子请参见代数格。
- 考虑在字母表 {0,1} 的所有有限和无限的字的集合，按在字上的前缀序排序。所以，字 w 小于某个字 v，如果 w 是 v 的一个前缀，就是说，如果有某个(有限或无限) 字 v' 使得 w v' = v。例如 10 ≤ 10110。空字是这个次序的底元素，而容易看出所有有向集合(总是链)有上确界。类似的，你可以立即验证有界完全性。但是，结果的偏序集合当然缺乏顶元素而有很多极大元素(如 111... or 000...)。它也是代数的，因为所有有限字是紧致的，当然可以从有限字的链逼近无限字。因此这是斯科特域而不是代数格。
- 作为反例，考虑在区间 [0,1] 内的实数，按自然次序排序。这个有界完全 cpo 不是代数的，实际上它只有一个紧致元素 0。
文献 编辑
参见 编辑
斯科特域, 在数学领域序理论和域理论中, scott, domain, 是代数的有界完全的完全偏序, 它得名于达纳, 斯科特, 他首先在域理论中研究了这些结构, 密切关系于代数格, 不同之处只是缺乏最大元, 目录, 形式定义, 性质, 例子, 文献, 参见形式定义, 编辑形式的说, 偏序集合, 叫做, 如果下列成立, 是有向完全的, 就是说, 所有, 的有向子集都有上确界, 是有界完全的, 就是说, 有某个上界的, 的所有子集都有上确界, 是代数的, 就是说, 的所有元素可以获得为, 的紧致元素的有向集合的上确界,. 在数学领域序理论和域理论中 斯科特域 Scott domain 是代数的有界完全的完全偏序 它得名于达纳 斯科特 他首先在域理论中研究了这些结构 斯科特域密切关系于代数格 不同之处只是缺乏最大元 目录 1 形式定义 2 性质 3 例子 4 文献 5 参见形式定义 编辑形式的说 偏序集合 D 叫做斯科特域 如果下列成立 D 是有向完全的 就是说 所有 D 的有向子集都有上确界 D 是有界完全的 就是说 有某个上界的 D 的所有子集都有上确界 D 是代数的 就是说 D 的所有元素可以获得为 D 的紧致元素的有向集合的上确界 性质 编辑因为空集当然有上界 我们从有界完全性得出最小元 空界的上确界 的存在性 还要注意尽管术语 斯科特域 广泛的用于这个定义 术语 域 没有一般性意义 它可以用于称呼在域理论中的很多结构并通常在使用前作出解释 但是 域 确实是 斯科特自己最初用于这些结构的 此外 在某些出版物中 斯科特域常以其他名字如 代数半格 出现 应当记住有界完全的性质等价于所有非空下确界的存在性 周知所有下确界的存在性蕴涵了所有上确界的存在性 并因此使偏序集合成为完全格 因此 当顶元素 空集的下确界 被连接 adjoin 到 斯科特域 可以得出 新顶元素是紧致的 因为次序以前是有向完全的 结果的偏序集合将是代数格 反过来 斯科特域在一定意义上 几乎 就是代数格 斯科特域密切相关于斯科特信息系统 它组成了斯科特域的 语法 表示 例子 编辑所有有限偏序集合是有向完全和代数的 因此任何有界完全有限偏序集合很平常的就是斯科特域 自然数集带补充的顶元素 w 构成了代数格 因此也是斯科特域 在此方面的更多例子请参见代数格 考虑在字母表 0 1 的所有有限和无限的字的集合 按在字上的前缀序排序 所以 字 w 小于某个字 v 如果 w 是 v 的一个前缀 就是说 如果有某个 有限或无限 字 v 使得 w v v 例如 10 10110 空字是这个次序的底元素 而容易看出所有有向集合 总是链 有上确界 类似的 你可以立即验证有界完全性 但是 结果的偏序集合当然缺乏顶元素而有很多极大元素 如 111 or 000 它也是代数的 因为所有有限字是紧致的 当然可以从有限字的链逼近无限字 因此这是斯科特域而不是代数格 作为反例 考虑在区间 0 1 内的实数 按自然次序排序 这个有界完全 cpo 不是代数的 实际上它只有一个紧致元素 0 文献 编辑参见域理论中的文献 参见 编辑斯科特信息系统 取自 https zh wikipedia org w index php title 斯科特域 amp oldid 31158188, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
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