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八月 28, 2023
卢曼, 缅绍夫定理, 英語, looman, menchoff, theorem, 是复分析中的一条定理, 可用于判断复函数的解析性, 该定理指出, 定义在复平面上某个区域内的连续函数是解析函数, 当且仅当其视作r, displaystyle, mathbb, mathbb, 的映射时, 四个偏导数处处存在且满足柯西, 黎曼方程, 该定理由卢曼于1923年提出, 于1931年由缅绍夫给出完整证明, 虽然定理涉及初等数学领域, 但其证明需运用现代实变函数理论, 目录, 背景, 定理的陈述和证明, 引理, 证明概要, . 卢曼 缅绍夫定理 英語 Looman Menchoff theorem 是复分析中的一条定理 可用于判断复函数的解析性 该定理指出 定义在复平面上某个区域内的连续函数是解析函数 当且仅当其视作R 2 R 2 displaystyle mathbb R 2 to mathbb R 2 的映射时 四个偏导数处处存在且满足柯西 黎曼方程 该定理由卢曼于1923年提出 于1931年由缅绍夫给出完整证明 虽然定理涉及初等数学领域 但其证明需运用现代实变函数理论 1 2 目录 1 背景 2 定理的陈述和证明 2 1 引理 2 2 证明概要 3 参考文献背景 编辑定义在复平面内的区域上的复解析函数f x i y u i v displaystyle f x iy u iv 在整个定义域内满足柯西 黎曼方程 1 2 u x v y displaystyle partial u over partial x partial v over partial y u y v x displaystyle partial u over partial y partial v over partial x 上述命题的部分逆命题亦成立 例如 额外假定f displaystyle f 作为实函数在区域内处处可微 或是假定f displaystyle f 的偏导数处处连续 同时满足柯西 黎曼方程 均可推出f displaystyle f 是区域内的解析函数 其中前一个命题由爱徳华 古尔萨 英语 Edouard Goursat 在1900年证明 又被称为古尔萨定理 3 实际上 这些附加条件存在放宽的余地 1 20世纪初 人们对放宽函数解析性的判定条件这一问题开展了大量的研究 1905年 迪米特里耶 蓬佩尤 英语 Dimitrie Pompeiu 指出 古尔萨定理的附加条件可以放宽到 函数在区域内几乎处处可微 之后 卢曼和迪米特里 缅绍夫 英语 Dmitrii Menshov 在这一领域做出了重要的贡献 2 3 卢曼注意到 仅仅假定偏导数在区域内处处存在 且满足柯西 黎曼方程 并不足以保证函数在区域上的解析性 甚至不能保证函数在其上的连续性 如下定义的复变函数 在复平面上处处可求偏导 且偏导数满足柯西 黎曼方程 但它在原点处并不解析 1 f z exp z 4 z 0 0 z 0 displaystyle f z left begin aligned exp z 4 amp amp z neq 0 0 amp amp z 0 end aligned right 1923年 卢曼断言只要附加函数在区域上连续的条件 就可以推出函数的解析性 从而强化了古尔萨定理 然而 卢曼当时的证明中存在一个漏洞 缅绍夫于1931年发表的证明则弥补了这一漏洞 他的证明用到了勒贝格积分和贝尔纲定理 1933年 数学家斯坦尼斯拉夫 萨克斯 英语 Stanislaw Saks 回顾了这一证明 并将其命名为 卢曼 缅绍夫定理 3 4 萨克斯对该证明评价甚高 毫无疑问 它是现代实变函数理论在初等数学领域最优美和令人意外的应用之一 1 定理的陈述和证明 编辑设D displaystyle D 为复平面C displaystyle mathbb C 上的开集 f x i y u i v displaystyle f x iy u iv 为定义在D displaystyle D 上的连续复变函数 若偏导数 u x displaystyle partial u over partial x v y displaystyle partial v over partial y u y displaystyle partial u over partial y v x displaystyle partial v over partial x 在D displaystyle D 上处处存在且处处满足柯西 黎曼方程 则f displaystyle f 为D displaystyle D 上的解析函数 引理 编辑 为证明卢曼 缅绍夫定理 需要先证明如下引理 1 4 5 设R displaystyle R 为R 2 displaystyle mathbb R 2 上的正方形 f displaystyle f 为R displaystyle R 到R displaystyle mathbb R 的映射 且在R displaystyle R 内处处可求偏导 若存在R displaystyle R 的某个非空闭集E displaystyle E 和正数N displaystyle N 使得 x y E w y R x v R f x y f x v N y v f x y f w v N x w displaystyle forall x y in E w y in R x v in R left f x y f x v right leqslant N left y v right left f x y f w v right leqslant N left x w right 记 a b c d displaystyle a b times c d 为包含E displaystyle E 的最小矩形 则有 a b f x d f x c d x E f y d s 5 N m R E displaystyle left int a b f x d f x c dx int E partial f over partial y d sigma right leqslant 5Nm R E c d f b y f a y d y E f x d s 5 N m R E displaystyle left int c d f b y f a y dy int E partial f over partial x d sigma right leqslant 5Nm R E 其中m A displaystyle m A 代表集合A displaystyle A 的测度 为证明该引理 可以先考虑一维的情形 这时 R displaystyle R 为实轴上的区间 a b displaystyle a b 而E displaystyle E 为其内一个闭集 可以在R displaystyle R 上定义一个辅助函数 它在E displaystyle E 内取f displaystyle f 在I R displaystyle I R 内取分段线性函数 并保持边界处连续 可以证明 该辅助函数在整个R displaystyle R 上利普希茨连续 因此绝对连续 几乎处处可导 且导函数可积 而E displaystyle E 的孤立点集至多可数 在E displaystyle E 非孤立点集上 辅助函数和f displaystyle f 的导数又几乎处处相等 故而 f b f a E f x d x N m R E displaystyle left f b f a int E partial f over partial x dx right leqslant Nm R E 回到引理 由于 a b c d displaystyle a b times c d 是包含闭集E displaystyle E 的最小矩形 在区间 c d displaystyle c d 上必然存在点a displaystyle alpha b displaystyle beta 使得 a a b b E displaystyle a alpha b beta in E 对 c d displaystyle c d 上的任何一点x displaystyle chi 都有 f a x f b x f a x f a a f a a f b a f b a f b b f b b f b x 4 N L displaystyle f a chi f b chi leqslant f a chi f a alpha f a alpha f b alpha f b alpha f b beta f b beta f b chi leqslant 4NL 其中L displaystyle L 为R displaystyle R 的边长 记E displaystyle E 中所有点纵坐标的集合为A displaystyle A A displaystyle A 在 c d displaystyle c d 中的补集为B displaystyle B 则f a x f b x displaystyle f a chi f b chi 在B displaystyle B 上的积分满足 B f a x f b x d x B 4 N L d x 4 N m R E displaystyle int B f a chi f b chi d chi leqslant int B 4NLd chi leqslant 4Nm R E 另一方面 x A displaystyle forall chi in A 可以证明E x ϕ x ϕ x E displaystyle E chi phi chi phi chi in E 是闭集 因此 对连接 a x displaystyle a chi 和 b x displaystyle b chi 的线段使用上述一维情形的结论 可知 f b x f a x E x f x d x N b a m E x displaystyle left f b chi f a chi int E chi partial f over partial x dx right leqslant N b a m E chi 将上式在A displaystyle A 上积分 并将重积分化作累次积分 可得 A f a x f b x d x E f x d s N m R E displaystyle int A f a chi f b chi d chi int E partial f over partial x d sigma leqslant Nm R E 注意到下式即可证明引理 E f a x f b x d x E f x d s B f a x f b x d x A f a x f b x d x E f x d s 5 N m R E displaystyle int E f a chi f b chi d chi int E partial f over partial x d sigma leqslant int B f a chi f b chi d chi int A f a chi f b chi d chi int E partial f over partial x d sigma leqslant 5Nm R E 证明概要 编辑 记E displaystyle E 为D displaystyle D 中f displaystyle f 不解析的点的集合 利用反证法 假设E displaystyle E 非空 只需证明存在E displaystyle E 的一个子集 使得f displaystyle f 在其上解析 即可推出矛盾 进而说明原命题成立 利用解析性和围道积分的关系可以证明E displaystyle E 是一个闭集 定义E n displaystyle E n 为D displaystyle D 的具备如下性质的子集 E n z z D f z h f z n h f z i h f z n h h R D z h D h 1 n displaystyle E n z z in D left f z h f z right leqslant n left h right left f z ih f z right leqslant n left h right forall h in mathbb R D z h subset D left h right leqslant 1 n 由f displaystyle f 的连续性和处处可求偏导的性质分别可以推出E n displaystyle E n 是闭集 且E D n 1 E n displaystyle E subset D subseteq cup n 1 infty E n 因此 由贝尔纲定理 必然至少存在一个E k displaystyle E k 和D displaystyle D 中开集K displaystyle K 使得 E K E k displaystyle emptyset neq E cap K subseteq E k 设Q displaystyle Q 是K displaystyle K 中任意一个边长小于1 k displaystyle 1 k 且交E displaystyle E 非空的正方形 可证u x i y displaystyle u x iy v x i y displaystyle v x iy 作为Q R displaystyle Q to mathbb R 的映射 均满足引理要求的一切条件 因此 在包含E Q displaystyle E cap Q 的最小矩形R a b c d displaystyle R a b times c d 上 a b v x d v x c d x E Q v y d s 5 k m Q E Q displaystyle left int a b v x d v x c dx int E cap Q partial v over partial y d sigma right leqslant 5km Q E cap Q c d u b y u a y d y E Q u x d s 5 k m Q E Q displaystyle left int c d u b y u a y dy int E cap Q partial u over partial x d sigma right leqslant 5km Q E cap Q 注意到u displaystyle u v displaystyle v 满足柯西 黎曼方程 可以得到对f displaystyle f 在R displaystyle R 边界上积分的虚部估计式 I m R f d l a b v x d v x c d x E Q v y d s c d u b y u a y d y E Q u x d s 10 k m Q E Q displaystyle left Im oint partial R fdl right leqslant left int a b v x d v x c dx int E cap Q partial v over partial y d sigma right left int c d u b y u a y dy int E cap Q partial u over partial x d sigma right leqslant 10km Q E cap Q 显然该积分的实部也满足类似的估计式 因此 R f d l I m R f d l 2 R e R f d l 2 10 2 k m Q E Q displaystyle left oint partial R fdl right sqrt left Im oint partial R fdl right 2 left Re oint partial R fdl right 2 leqslant 10 sqrt 2 km Q E cap Q 依定义 f displaystyle f 在Q R displaystyle Q R 内解析 因此可将上式中的积分围道由R displaystyle R 的边界扩大为Q displaystyle Q 的边界 Q f d l 10 2 k m Q E Q displaystyle left oint partial Q fdl right leqslant 10 sqrt 2 km Q E cap Q 记Q n K displaystyle Q n subset K 是任意一串收敛到z K displaystyle z in K 的正方形序列 若z E displaystyle z in E 当n displaystyle n 充分大时 所有Q l K l gt n displaystyle Q l subset K l gt n 的边长都小于1 k displaystyle 1 k 因此 lim sup n Q n f d l m Q n 10 2 k lt displaystyle limsup n to infty frac left oint partial Q n fdl right m Q n leqslant 10 sqrt 2 k lt infty 0 lim inf n Q n f d l m Q n 10 2 k 1 lim sup n m Q n E m Q n displaystyle 0 leqslant liminf n to infty frac left oint partial Q n fdl right m Q n leqslant 10 sqrt 2 k 1 limsup n to infty frac m Q n cap E m Q n 由勒贝格密度定理 英语 Lebesgue s density theorem 第二式右侧的极限作为z displaystyle z 的函数几乎处处为1 因此左侧的下极限几乎处处为零 若z K K E displaystyle z in K K cap E 当n displaystyle n 充分大时 f displaystyle f 在所有Q l K l gt n displaystyle Q l subset K l gt n 内解析 因此 0 lim inf n Q n f d l m Q n lim sup n Q n f d l m Q n lt displaystyle 0 liminf n to infty frac left oint partial Q n fdl right m Q n limsup n to infty frac left oint partial Q n fdl right m Q n lt infty 将围道积分视为集合函数 上述极限以及围道积分的连续性和可加性保证了围道积分几乎处处可导 且围道积分的值由导函数在集合上的积分给出 又因上述下极限在K displaystyle K 上几乎处处为零 该导数在K displaystyle K 上也几乎处处为零 这意味着f displaystyle f 在K displaystyle K 内的围道积分恒为零 即f displaystyle f 在K displaystyle K 乃至E displaystyle E 的子集E K displaystyle E cap K 内解析 矛盾 1 4 5 6 参考文献 编辑 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 J D Gray S A Morris When is a Function that Satisfies the Cauchy Riemann Equations Analytic The American Mathematical Monthly 1978 85 4 246 256 2018 09 06 doi 10 2307 2321164 原始内容存档于2018 09 07 英语 2 0 2 1 2 2 Maynard G Arsove The Looman Menchoff theorem and some subharmonic function analogues Proceedings of the American Mathematical Society 1955 6 1 94 105 2018 09 06 ISSN 0002 9939 doi 10 1090 S0002 9939 1955 0069965 7 原始内容存档于2018 08 16 美国英语 3 0 3 1 3 2 N V Rao A generalization of the Looman Menchoff theorem Israel Journal of Mathematics 1990 02 70 1 93 103 2018 09 08 ISSN 0021 2172 doi 10 1007 bf02807221 原始内容存档于2018 09 09 英语 4 0 4 1 4 2 Donald Carvel Ferguson a theorem of looman 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