克鲁尔维数

在交換代數中，一個環的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大長度。此概念依數學家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。

定義

設交換環 ${\displaystyle R}$  中有 ${\displaystyle n+1}$  個素理想 ${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}}$ ，使得

${\displaystyle P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}}$ 

則稱之為長度為 ${\displaystyle n}$  的素理想鏈，一個無法插入新的素理想的鏈被稱作極大的。${\displaystyle R}$  的克鲁尔維數定義為素理想鏈的最大可能長度，這也等於是 ${\displaystyle R}$  中素理想的最大可能高度。

根據定義， ${\displaystyle R}$  的維數與對素理想的局部化有下述關係

${\displaystyle \dim R=\sup\{\dim R_{\mathfrak {p}}:{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} R\}}$ 

其中 ${\displaystyle \mathrm {Spec} R}$  表 ${\displaystyle R}$  的所有素理想所成集合。我們也可以僅考慮為極大理想的 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 。當 ${\displaystyle R}$  為鏈環時，對各極大理想的局部化皆有相同維數；代數幾何處理的交換環通常都是鏈環。

例子與性質

例如在環 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )[X,Y,Z]}$  中可考慮以下的素理想鏈

${\displaystyle (2)\subsetneq (2,x)\subsetneq (2,x,y)\subsetneq (2,x,y,z)}$ 

因此 ${\displaystyle \dim(\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )[X,Y,Z]\geq 3}$ ；事實上可證明其維數確實為 3。以下是克鲁尔維數的幾個一般性質：

• 零維的整環是域。
• 離散賦值環與戴德金整環是一維的。
• 若 ${\displaystyle \dim R=k}$ ，則 ${\displaystyle k+1\leq \dim R[X]\leq 2k+1}$ ；當 ${\displaystyle R}$  為諾特環時則 ${\displaystyle \dim R[X]=k+1}$ 。
• 若 ${\displaystyle k}$  為域，則 ${\displaystyle \dim k[X_{1},\ldots ,X_{n}]=n}$ 。
• 若 ${\displaystyle B}$  為 ${\displaystyle A}$ -代數，同時又是有限生成的 ${\displaystyle A}$ -模，則 ${\displaystyle \dim B=\dim A}$ 。

與幾何的關係

在代數幾何中，一個概形的維數被定義為各局部環的克鲁尔維數的上確界；對於仿射概形 ${\displaystyle X=\mathrm {Spec} A}$ ，則回歸到 ${\displaystyle \dim X=\dim A}$ 。

設 ${\displaystyle k}$  為域，${\displaystyle R}$  是有限型 ${\displaystyle k}$ -整代數，這是代數幾何中的主要案例。根據諾特正規化引理，存在非負整數 ${\displaystyle d}$  及 ${\displaystyle R}$  中彼此代數獨立的元素 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$  ，使得 ${\displaystyle R}$  是有限生成之 ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{d}]}$ -模，因此 ${\displaystyle \dim R=d}$ 。從幾何觀點看，${\displaystyle \mathrm {Spec} R}$  此時是 ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}$  的有限分歧覆蓋，因而克鲁尔維數確實合乎下述幾何直觀：

1. ${\displaystyle \dim \mathbb {A} _{k}^{d}=d}$ 
2. 若 ${\displaystyle X\rightarrow Y}$  是分歧覆蓋，則 ${\displaystyle \dim X=\dim Y}$ 。

特別是當 ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$  時，代數簇的克鲁尔維數等於複幾何中定義的維數。

文獻

• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9