K函数

K函数是hyper阶乘函数在复数上的扩展，如同Γ函数是阶乘函数在复数上的扩展。 K函数的定义为：

${\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z-1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right].}$

还可以写成闭合形式：

${\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right].}$

其中，${\displaystyle \zeta ^{\prime }(z)}$表示黎曼ζ函數的导函数，而${\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)}$则表示赫爾維茨ζ函数的导函数，即

${\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}.}$

另一种使用多伽玛函数的表示形式是：^[1]

${\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right).}$

或者使用广义多伽玛函数表示为：^[2]

${\displaystyle K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}.}$

其中A表示格莱舍常数（Glaisher constant）。

K函数与Γ函数和巴尼斯G函数关系密切。对于自然数n，我们有：

${\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}.}$

还可以更简单地写为：

${\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}.}$

前几项为：1、4、108、27648、86400000、4031078400000、3319766398771200000……(OEIS中的数列).

相关条目

• Γ函数
• 巴尼斯G函数

参考

1. . [2010-01-27]. （原始内容存档于2020-02-21）. 
2. Olivier Espinosa Victor H. Moll. A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115 (PDF). [2010-01-27]. （原始内容 (PDF)于2008-05-16）. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. K-Function. MathWorld.