2i

此条目的主題是一個虛數。关于2i的其他意義和用法，請見「2I」。

${\displaystyle 2i}$是在虛數軸正向距離原點兩個單位的高斯整數^[2]:13，為虛數單位的兩倍^[2]:12，同時也是負四的平方根^{[2]:12[3][4]:ix[5][6][7][8]}，是方程式${\displaystyle x^{2}+4=0}$的正虛根^[3][9]:10。日常生活中通常不會用${\displaystyle 2i}$來計量事物，例如無法具體地描述何謂${\displaystyle 2i}$個人，邏輯上${\displaystyle 2i}$個人並沒有意義。^[10]部分書籍或教科書偶爾會使用${\displaystyle 2i}$來做虛數的例子或題目。^[11]

2i

2i
數表 — 高斯整數 << −3i −2i −i 0  i  2i  3i >>
${\displaystyle 2i}$在高斯平面上的位置
命名
名稱	2i
性質
高斯整數分解	${\displaystyle (1+i)^{2}}$
絕對值	2^[1]
表示方式
值	${\displaystyle 2i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-4}}}$
代數形式	${\displaystyle 2{\sqrt {-1}}}$
十进制	2i
-1+i进制	1110100
2i进制	10
查 论 编

高斯整數導航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

在高斯平面上，與${\displaystyle 2i}$相鄰的純虛數之高斯整數有${\displaystyle i}$和${\displaystyle 3i}$（上下相鄰）以及${\displaystyle 2i-1}$和${\displaystyle 2i+1}$（左右相鄰），然而複數不具備有序性，即無法判斷${\displaystyle 2i}$與${\displaystyle 3i}$間的大小關係，因此無法定義${\displaystyle i}$與${\displaystyle 3i}$何者為${\displaystyle 2i}$的前一個虛數、何者為${\displaystyle 2i}$的下一個虛數。

性質

• ${\displaystyle 2i}$ 不屬於實數，是一個純虛數，同時也是複數位於複數平面，其實部為0、虛部為2^[12]，輻角為90度（${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ 弧度）^[13]，其也能表達為${\displaystyle 2e^{i\pi /2}}$ ^[14]:7或${\displaystyle 2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}$ ^[15]。
• ${\displaystyle 2i}$ 是一個高斯整數^[16][17][18]，高斯整數分解（英语：Table_of_Gaussian_integer_factorizations）為${\displaystyle (1+i)^{2}}$ ^[19]:711，或${\displaystyle (1+i)(1+i)}$ ^[20]:433，其中，1+i為2i的高斯質因數。^{[19]:711[21][22]:247}
• 所有複數的可以表達為${\displaystyle 2i}$ 之冪的線性組合。^[23]換句話說若進位制以${\displaystyle 2i}$ 為底數，則可獨一無二地表示全體複數^[24]。該進制稱為2i進制，由高德納於1955年發現。^[25]
• 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以${\displaystyle 2i}$ 的商，^[26]換言之，則${\displaystyle z-z^{*}=2i\,Im(z)}$ 。^[2]:32

  ${\displaystyle Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}}$ 

• 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以${\displaystyle 2i}$ 的商。^{[27][28]:41[2]:64}

  ${\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$ 

• ${\displaystyle 2i}$ 等於最小的質數和虛數單位的積，即${\displaystyle p_{_{1}}\times i=2i}$ ^[15]，其中${\displaystyle p_{n}}$ 為第${\displaystyle n}$ 個質數。
• 虛數單位和虛數單位的倒數相差${\displaystyle 2i}$ 。
• 任意數與${\displaystyle 2i}$ 相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。^{[14]:7[2]:20-21}

2i的冪

${\displaystyle 2i}$ 的前幾次冪為1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...^[29]，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在1、i、−1、−i中變化。其中，實數項為−4的冪^[30] ，虛數的正值項為16的冪的2倍^[31] 、虛數的負值項為16的冪的−8倍^[32]，因此這種特性使得${\displaystyle 2i}$ 作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，^[29]並且有研究以此特性設計複數運算電路^[33]。

2i的平方根

${\displaystyle 2i}$ 的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即${\displaystyle {\sqrt {2i}}=1+i}$ ^[28]:3，反過來說${\displaystyle 2i}$ 正好是實數單位與虛數單位相加的平方，${\displaystyle (1+i)^{2}=2i}$ ^[34][35]:388。若考慮平方根的正負，則1+i和−1−i都是${\displaystyle 2i}$ 的平方根。

相關數字

−2i

${\displaystyle -2i}$ 是${\displaystyle 2i}$ 的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。^[36]

1+i

${\displaystyle 1+i}$ 是${\displaystyle 2i}$ 的平方根^[28]，由於其冪次為1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於${\displaystyle -1+i}$ 為底數的進位制，${\displaystyle -1+i}$ 做為底數更為適合。^[37]亦有另外一個數也為${\displaystyle 2i}$ 的平方根，即${\displaystyle -1-i}$ ，但這個數較少出現於探討進位制底數的文章中，也沒有其他特殊的性質。此外，${\displaystyle -1-i}$ 也不是第一象限高斯質數，因此鮮少被拿出來討論。

−1+i

−1+i

−1+i
命名
名稱	−1+i
性質
高斯整數分解	（高斯質數）
絕對值	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
表示方式
值	${\displaystyle -1+i}$
代數形式	${\displaystyle {\sqrt {-2i}}}$
十进制	−1+i
2i进制	113.2
查 论 编

 

在−1+i進位制系統中整數部分全為零的複數

参见：-1±i进制

${\displaystyle -1+i}$ 是${\displaystyle -2i}$ 的平方根。由於其冪次為−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，其在正負、虛實交替變化，因此其可以構建一個以${\displaystyle -1+i}$ 為底數並用1和0表達複數的進位制^[36][38]。其他複數雖然也可以，如${\displaystyle 1-i}$ ，但對高斯整數而言，以${\displaystyle 1-i}$ 為底並不是一個優良的選擇。^[37]雖然${\displaystyle 1-i}$ 也是${\displaystyle -2i}$ 的平方根，但因為上述原因，所以${\displaystyle 1-i}$ 這個數字通不會用來作為進制的底數來使用。

除了${\displaystyle -1+i}$ 外，其他${\displaystyle -n+i}$ 形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以${\displaystyle -1+i}$ 為例，其表達的範圍較為均勻，而${\displaystyle -2+i}$ 、${\displaystyle -3+i}$ 等則會越來越狹長。^[39]

−1+i進制與相關進制比較

十進制	二進制	2i進制	−1+i進制	−2+i進制
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	10	2	1100	2
−1	−1	103	11101	144
−2	−10	102	11100	143
i	i	10.2	11	12
2i	10i	10	1110100	24
3i	11i	20.2	1110111	1341
−i	−i	0.2	111	133
−2i	−10i	1030	100	121
−3i	−11i	1030.2	110011	13304
1+i	1+i	11.2	1110	13
1−i	1−i	1.2	111010	134
−1+i	−1+i	113.2	10	11
−1−i	−1−i	103.2	110	132
2+i	10+i	12.2	1111	14
2−i	10−i	2.2	111011	1440
−2+i	−10+i	112.2	11111	10
−2−i	−10−i	102.2	11101011	131

參見

• 虛數單位
• -2

參考文獻

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