黑塞二十七面體

在幾何學中，黑塞二十七面體（Hessian polyhedron）是一個複正多面體，其位於${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$複希爾伯特空間中由27個莫比烏斯－坎特八邊形組成^[1]，共有27個面、72條三元邊^{[註 1]}和27個頂點，是一個自身對偶的多面體^{[註 2][2]}，其可以視為實數空間的四面體在複數空間中的類比^[3]。

黑塞二十七面體

投影到實二維空間的平行投影
類別	複正多面體
對偶多面體	黑塞二十七面體（自身對偶）
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	3{3}3{3}3
性質
面	27個3{3}3
邊	72條3{}（英语：Trion (geometry)）
頂點	27
歐拉特徵數	F=27, E=72, V=27 （χ=-18）
特殊面或截面
皮特里多边形	十二边形
梵奧斯截面 （英语：Van_Oss_polygon）	12個3{4}2
組成與佈局
面的種類	莫比烏斯－坎特八邊形
頂點圖	3{3}3
邊的種類	三元稜（英语：Trion (geometry)）
佈局矩陣 （英语：Configuration_(polytope)）	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}27&8&8\\3&72&3\\8&8&27\end{smallmatrix}}\right]}$
對稱性
謝潑德群 （英語：Shephard groups）	L3 = 3[3]3[3]3, order 648
特性
正
查 论 编

由於這種形狀與黑塞排佈共享複排佈（英语：Complex configuration）結構，即12條線上有9個點，每條線上有3個點，每個點上有4條線，因此考克斯特將這種形狀以路德维希·奥托·黑塞的名字命名。^[5]

黑塞二十七面體是一種位於複數空間的立體，其對應到實數空間同樣也有一種實數空間的代表，其為2₂₁多胞體（英语：2_21_polytope），考克斯特表示法計為，其在六維空間中^[1]與黑塞二十七面體共用其27個頂點，其216條邊可透過將三元邊₃{}替換成3條簡單邊即可於2₂₁中被觀察到。^[6]

性質

黑塞二十七面體由27個全等的莫比烏斯－坎特八邊形組成^[1]，共有27個面、72條邊和27個頂點^[2]，其72條邊皆為三元邊，每個邊皆連接了3個頂點^[7]；其27個頂點中，每個頂點皆為8個莫比烏斯－坎特八邊形的公共頂點，即頂點圖為莫比烏斯－坎特八邊形，換句話說即黑塞二十七面體是一個自身對偶多面體。^{[註 2][2]}

對稱性

其複鏡像群（英语：Complex reflection group）為₃[3]₃[3]₃或     對稱性，階數為648階^[1]，這種對稱性又可以稱為黑塞群（英语：Hessian group）。其在每個頂點有27個   副本，階數為24階，其有24個三階反射對稱性。其考克斯特數為12，且具有基本不變量3,6和12的度數，其可以在多面體的投影對稱性中被觀察到。^[6]

頂點座標

對於λ, μ = 0,1,2，黑塞二十七面體的27個頂點可以在三維的複數空間中給出：^[8]

(0,ω^λ,−ω^μ)

(−ω^μ,0,ω^λ)

(ω^λ,−ω^μ,0)

其中${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$ .

面的組成

主条目：莫比烏斯－坎特八邊形

 

黑塞二十七面體，其中一個面以藍色表示。

黑塞二十七面體由27個全等的莫比烏斯－坎特八邊形組成^[1]。莫比烏斯－坎特八邊形是一種由8個頂點和8條稜所組成的幾何結構，其在施萊夫利符號中可以用₃{3}₃來表示、在考克斯特記號中可以用   來表示。與一般的八邊形不同，莫比烏斯－坎特八邊形位於複希爾伯特平面，且構成這種形狀的稜每個稜階連接了三個頂點，稱為三元稜或三元邊（Trion），這種幾何結構在施萊夫利符號中可以用₃{}來表示。^[9]

莫比烏斯－坎特八邊形的正投影圖

考克斯特平面	B4		F4
圖
對稱性	[8]		[12/3]

正交投影

黑塞二十七面體有8種具有特殊對稱性的正交投影。其中重合的頂點以不同顏色表示，其72個三元邊被繪製為3條一般的邊。其中，第一種代表了E₆的考克斯特平面^[1]。

考克斯特平面正交投影

E6 [12]	Aut(E6) [18/2]	D5 [8]	D4 / A2 [6]
(1=紅,3=橘)	(1)	(1,3)	(3,9)
B6 [12/2]	A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(1,3)	(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

用途

部分研究中，此形狀用於表示標準模型中一些基本粒子的關係^[10]。

相關多面體及其他幾何結構

以亞歷山大·威廷（英语：Alexander Witting）命名的複空間四維正多胞體——威廷二百四十胞體（英语：Witting polytope）是一種由240個黑塞二十七面體所組成的四維正多胞體，其胞和頂點圖皆為黑塞二十七面體。^[11]

註釋

1. 在數學中，邊或稜通常可以代表頂點皆只位在單一軸上並不涉及其他軸分量組成的幾何結構，例如x軸上的(2,0)連接到(3,0)的棱，但若將每一個維度從實數推廣至複數，則「軸」的概念可以被替換為高斯平面，這意味著稜不再只是一條線段，而可能是高斯平面上的一個區域。而三元邊或三元棱則為連接三個頂點所構成複數空間的棱。這種結構無法存於實空間，在實空間中，三元棱對應的幾何結構為三角形。
2. 對偶多面體為本身的多面體稱為自身對偶多面體。

參考文獻

1. Coxeter, H. S. M., Moser, W. O. J.; Generators and Relations for Discrete Groups (1965), esp pp 67–80.
2. Coxeter, H. S. M.; Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, (1974).
3. Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,

1. Stacey, Blake C, Sporadic SICs and Exceptional Lie Algebras, sunclipse, December 30, 2018 
2. Duke, Andrew Cameron, Cube-like regular incidence complexes, Northeastern University, 2014 
3. Krishnan, R and Harrison, PF and Scott, WG. Fully constrained Majorana neutrino mass matrices using ${\displaystyle {\mathit {\Sigma }}(72\times 3)}$ . The European Physical Journal C (Springer). 2018, 78 (1): 74. 
4. Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2 
5. Coxeter, Complex Regular polytopes,^[4] p.123
6. Briand, Emmanuel and Luque, Jean-Gabriel and Thibon, Jean-Yves and Verstraete, Frank. The moduli space of three-qutrit states. Journal of mathematical physics (AIP). 2004, 45 (12): 4855––4867. 
7. Complex Regular Polytopes,^[4] 11.1 Regular complex polygons p.103
8. Coxeter, HSM. The equianharmonic surface and the Hessian polyhedron. Annali di Matematica Pura ed Applicata (Springer). 1974, 98 (1): 77––92. 
9. Complex Regular Polytopes,^[4] 11.1 Regular complex polygons p.103
10. de Wet, JA, A Standard Model Algebra, International Mathematical Forum 7 (51), 2012, 7 (51): 2519––2524 
11. Lei, Y. Hessian Polyhedra, Invariant Theory and Appell Hypergeometric Functions. World Scientific Publishing Company. 2018: p.127. ISBN 9789813209497.  引文格式1维护：冗余文本 (link)