黑体辐射本领

黑体辐射本领由基尔霍夫（G. R. Kirchhoff）证明，对于任意一个物体，辐射本领${\displaystyle E(\nu ,T)}$与吸收率${\displaystyle A(\nu ,T)}$之比是一个与组成物体的物质无关的普适函数（以${\displaystyle f(\nu ,T}$表示）

${\displaystyle {\frac {E(\nu ,T)}{A(\nu ,T)}}=f(\nu ,T)}$

其中，辐射本领${\displaystyle E(\nu ,T)}$为单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，所以，在${\displaystyle \Delta t}$的时间，从${\displaystyle \Delta S}$面积上发射出频率在${\displaystyle \nu --\nu +\Delta \nu }$范围内的能量为${\displaystyle E(\nu ,T)\Delta t\Delta S\Delta \nu }$。因此${\displaystyle E(\nu ,T)}$的单位为${\displaystyle J/m^{2}}$，可以证明，黑体辐射本领与辐射体的能量密度分布${\displaystyle u(\nu ,T)}$的关系为

${\displaystyle E(\nu ,T)={\frac {c}{4}}u(\nu ,T)}$

${\displaystyle u(\nu ,T)}$的单位为${\displaystyle J\cdot s/m^{3}}$ 吸收率${\displaystyle A(\nu ,T)}$则为照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额，由于黑体的吸收率为1，所以它的辐射本领

${\displaystyle E(\nu ,T)=f(\nu ,T)}$

这意味着黑体辐射本领等价于普适函数（与物质无关） 同时也可以以用${\displaystyle E(\lambda ,T)}$来表达辐射本领

${\displaystyle E(\lambda ,T)={\frac {\nu ^{2}}{c}}E(\nu ,T)}$

${\displaystyle E(\lambda ,T)}$的单位为${\displaystyle J/m^{3}\cdot s}$

黑体辐射本领

实验室测得黑体辐射本领${\displaystyle E(\nu ,T)}$ 与${\displaystyle \lambda }$ 的关系如图

 

普朗克定律描述的黑体辐射在不同温度下的频谱

维恩公式

由维恩根据热力学第二定律推出的辐射本领为

${\displaystyle E(\lambda ,T)={\frac {C_{1}}{\lambda ^{5}}}c^{4}e^{-C_{2}\cdot {\frac {c}{\lambda T}}}}$ 

其中${\displaystyle c}$ 是光速,${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ 是常数。

瑞利-金斯公式

瑞利-金斯定律^[1][2]：瑞利和金斯根据电动力学和统计力学严格导出的辐射本领为：

${\displaystyle E(\lambda ,T)={\frac {2\pi c}{\lambda ^{4}}}kT}$ 

其中,k是波尔茨曼常数

 

“紫外灾变”：在经典统计理论中，能量均分定理预言黑体辐射的强度在紫外区域会发散至无穷大，这和事实严重违背

从图中可以很容易得出只有当 ${\displaystyle \lambda T\gg 10^{-2}\,{\text{m⋅K}}}$  时，这个公式才符合实验结果；当 ${\displaystyle \lambda \to 0}$  的时候，${\displaystyle E\to \infty }$ ，明显与实验数据不符，造成了所谓的紫外灾难。而维恩的公式仅在低波才符合实验结果。所以这两个公式都不能完全符合实验室所测得的结果。

在统计力学与电动力学可以得出黑体辐射本领公式

${\displaystyle {\begin{cases}E(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}\left(e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1\right)}}\\E(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}\left(e^{\frac {hv}{kT}}-1\right)}}\end{cases}}}$ 

^{[3][4][5][6][7]}

证明

普朗克于1900^[8]年假设能量是不连续的，即

${\displaystyle E=nh\nu ,n=0,1,2,...}$ 

h是普朗克常数 由经典的能量分布概率(玻尔兹曼概率分布）可以得到：

${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}{\int _{\infty }^{0}e^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}}}$ 

可得到平均能量为

${\displaystyle {\bar {E}}={\frac {\int _{\infty }^{0}Ee^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}{\int _{\infty }^{0}e^{-{\frac {E}{kT}}}\,\mathrm {d} E}}=kT}$ 

但是根据普朗克的假设，则能量分布概率应该是

${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}}}$ 

然后就可以得到

${\displaystyle {\bar {E}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }nh\nu e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {nh\nu }{kT}}}}}=-h\nu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nx}}{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-nx}}}={\frac {h\nu }{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}}$ 

最后就可以把黑体辐射本领公式改为

${\displaystyle {\begin{cases}E(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}(e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1)}}\\E(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}(e^{\frac {hv}{kT}}-1)}}\end{cases}}}$ 

参见

• 黑体 (热力学)
• 维恩位移定律
• 维恩近似
• 瑞利-金斯定律
• 盒中氣體
• 普朗克黑体辐射定律

參考文獻

1. L. Rayleigh, Phil. Mag.,49 (1900)539
2. J.H. Jeans,Phil.Mag.10(1905)91
3. 曾谨言. 量子力学教程. 北京：科学出版社,2003
4. 张启仁. 量子力学. 北京：科学出版社.2002
5. 张汝铿. 量子力学.上海：复旦大学出版社.1997
6. 关洪. 量子力学基础. 北京：高等教育出版社.1999
7. 程□生. 现代量子力学教程 北京大学出版社.2006
8. M.Planck, Ann. Physik, 4(1901)533