^Boas, R. P., Entire Functions, New York: Academic Press Inc., 1954, ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790, chapter 2.
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十二月 31, 2023
魏尔施特拉斯分解定理, 英語, weierstrass, factorization, theorem, 是指任意整函数f, displaystyle, 可以分解为如下无穷乘积的形式, displaystyle, displaystyle, displaystyle, prod, infty, displaystyle, tfrac, displaystyle, tfrac, tfrac, tfrac, tfrac, tfrac, cdots, tfrac, tfrac, displaystyle, prod, i. 魏尔施特拉斯分解定理 英語 Weierstrass factorization theorem 是指任意整函数f z displaystyle f z 可以分解为如下无穷乘积的形式 f z displaystyle f z z m e g z displaystyle z m e g z n 1 displaystyle prod n 1 infty 1 z a n displaystyle 1 tfrac z a n e z a n 1 2 z a n 2 1 3 z a n 3 1 h z a n h displaystyle e tfrac z a n tfrac 1 2 tfrac z a n 2 tfrac 1 3 tfrac z a n 3 cdots tfrac 1 h tfrac z a n h z m e g z n 1 E p n z a n displaystyle z m e g z prod n 1 infty E p n left frac z a n right 其中g z displaystyle g z 是另一整函数 h displaystyle h 是上述无穷乘积收敛的最小整数 称为亏格 E p n displaystyle E p n 是魏尔施特拉斯的基本因子 这种无穷乘积称为典范乘积 求解g z displaystyle g z 的方法一般是两边同时取对数再求导数 这样右边就可以化为无穷级数形式 通过对比无穷级数理论中的相关结果得出g z displaystyle g z 的形式 目录 1 基本因子 2 相关条目 3 延伸阅读 4 参考资料基本因子 编辑英文为primary factors或是elementary factors 也有译为 主要因子 的版本 1 对于任意的n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp 基本因子E n z displaystyle E n z nbsp 的定义如下 2 E n z 1 z exp h n z h n z 0 if n 0 z 1 1 z 2 2 z n n otherwise displaystyle begin aligned amp E n z 1 z exp left h n z right amp h n z begin cases 0 amp text if n 0 frac z 1 1 frac z 2 2 cdots frac z n n amp text otherwise end cases end aligned nbsp 其中 级数h n z z 1 1 z 2 2 z 3 3 z n n displaystyle h n z frac z 1 1 frac z 2 2 frac z 3 3 cdots frac z n n nbsp 对于级数h n z displaystyle h n z nbsp 有如下性质 以下性质在后续引理的证明中会用到 主要是3 4 与5 z lt 1 displaystyle z lt 1 nbsp 的情况下 h n z displaystyle h n z nbsp 可被展开为1 1 z 1 z 1 z 2 z 3 displaystyle frac 1 1 z 1 z 1 z 2 z 3 cdots nbsp 接着两边同时积分 可得 1 1 z d z log 1 z z 1 1 z 2 2 z 3 3 displaystyle begin aligned int frac 1 1 z dz log 1 z frac z 1 1 frac z 2 2 frac z 3 3 cdots end aligned nbsp 所以h n z displaystyle h n z nbsp 的极限可以表示为h z lim n h n z log 1 z displaystyle h infty z lim n to infty h n z log 1 z nbsp 因为 1 z exp log 1 z exp h z displaystyle 1 z exp log 1 z exp left h infty z right nbsp 所以1 1 z exp h z displaystyle frac 1 1 z exp left h infty z right nbsp 如果将h z displaystyle h infty z nbsp 与h n z displaystyle h n z nbsp 之间的差额定义为新的级数r n z h z h n z displaystyle r n z h infty z h n z nbsp 利用2 与3 改写E n z displaystyle E n z nbsp 的定义式 E n z 1 z exp h n z 1 z exp h z r n z 1 z 1 1 z exp r n z exp r n z displaystyle begin aligned amp E n z 1 z exp left h n z right 1 z exp left h infty z r n z right amp quad 1 z frac 1 1 z exp left r n z right exp left r n z right end aligned nbsp 改写后的基本因子定义式E n z exp r n z displaystyle E n z exp left r n z right nbsp 将会在后续引理的证明中用到 将3 的关系写成级数形式 r n z z n 1 n 1 z n 2 n 2 z n 3 n 3 k n 1 z n 1 n 1 z n 1 n 1 k 0 n 1 n 1 k z k displaystyle r n z frac z n 1 n 1 frac z n 2 n 2 frac z n 3 n 3 cdots sum k n 1 infty frac z n 1 n 1 frac z n 1 n 1 sum k 0 infty frac n 1 n 1 k z k nbsp 利用以上性质 可以证明下面的重要引理 该引理在后续证明魏尔施特拉斯分解定理时有关键性作用 2 引理 15 8 Rudin 对于 z 1 n N 0 displaystyle z leq 1 n in mathbb N 0 nbsp 1 E n z z n 1 displaystyle begin aligned left 1 E n z right leq z n 1 end aligned nbsp 成立 证明 n 0 displaystyle n 0 nbsp 时 1 z z displaystyle 1 z leq z nbsp 显而易见 所以只讨论n 1 displaystyle n geq 1 nbsp 的情况 i 将引理左边的部分 不带绝对值 定义为一个新函数u n z 1 E n z 1 1 z exp h n z displaystyle u n z 1 E n z 1 1 z exp h n z nbsp 后续称此式为式 1 displaystyle 1 nbsp 运用性质4 与5 改写式 1 displaystyle 1 nbsp u n z 1 E n z 1 exp r n z 1 exp z n 1 n 1 k 0 n 1 n 1 k z k 1 exp z n 1 n 1 exp z n 2 n 1 n 1 n 2 exp z n 3 n 1 n 1 n 3 displaystyle begin aligned u n z 1 E n z 1 exp left r n z right 1 exp left frac z n 1 n 1 sum k 0 infty frac n 1 n 1 k z k right 1 exp frac z n 1 n 1 exp frac z n 2 n 1 frac n 1 n 2 exp frac z n 3 n 1 frac n 1 n 3 end aligned nbsp 将指数部分展开后可得 为了简洁 系数用字母b c d displaystyle b c d nbsp 表示 u n z 1 1 b n 1 z n 1 b 2 n 2 z 2 n 2 1 c n 2 z n 2 c 2 n 4 z 2 n 4 1 d n 3 z n 3 d 2 n 4 z 2 n 4 displaystyle u n z 1 1 b n 1 z n 1 b 2n 2 z 2n 2 1 c n 2 z n 2 c 2n 4 z 2n 4 1 d n 3 z n 3 d 2n 4 z 2n 4 nbsp 整理后可得 u n z displaystyle u n z nbsp 可以用一个新的级数来表示 u n z 1 1 b n 1 z n 1 c n 2 z n 2 d n 3 z n 3 displaystyle u n z 1 1 b n 1 z n 1 c n 2 z n 2 d n 3 z n 3 nbsp 将系数统一用a displaystyle a nbsp 如a 0 b n 1 a 1 c n 2 displaystyle a 0 b n 1 a 1 c n 2 nbsp 来标注的话 u n z z n 1 k 0 a k z k displaystyle u n z z n 1 sum k 0 infty a k z k nbsp 将该结果微分 可得 u n z a 0 n 1 z n a 1 n 2 z n 1 a 2 n 3 z n 2 displaystyle u n z a 0 n 1 z n a 1 n 2 z n 1 a 2 n 3 z n 2 nbsp ii 将式 1 displaystyle 1 nbsp 直接微分 可得u n z E n z exp h n z 1 z h n z exp h n z exp h n z 1 z 1 z n 1 z exp h n z z n exp h n z displaystyle begin aligned amp u n prime z E n prime z exp h n z 1 z h n prime z exp h n z amp quad exp h n z 1 z frac 1 zn 1 z exp h n z z n exp h n z end aligned nbsp 将指数部分展开可得 u n z z n exp h n z z n exp z 1 1 z 2 2 z n n z n exp z exp z 2 2 exp z 3 3 exp z n n z n k 0 x k k l 0 x 2 l 2 l l j 0 x n j n j j displaystyle u n prime z z n exp h n z z n exp frac z 1 1 frac z 2 2 cdots frac z n n z n exp z exp frac z 2 2 exp frac z 3 3 exp frac z n n z n sum k 0 infty frac x k k sum l 0 infty frac x 2l 2 l l sum j 0 infty frac x nj n j j nbsp 结论1 比较i 与ii 的结果 比较z n displaystyle z n nbsp 项可知 a 0 n 1 1 a 0 1 n 1 displaystyle a 0 n 1 1 to a 0 frac 1 n 1 nbsp 同样的方法比较后续项可知 a k displaystyle a k nbsp 皆为正的实数 iii 基于u n displaystyle u n nbsp 新设一个级数v n z u n z z n 1 k 0 a k z k displaystyle v n z frac u n z z n 1 sum k 0 infty a k z k nbsp 因为极点是一个可消极点 所以这也是一个整函数 计算v n 1 u n 1 1 n 1 1 E n 1 1 1 1 exp h n 1 1 displaystyle v n 1 frac u n 1 1 n 1 1 E n 1 1 1 1 exp left h n 1 right 1 nbsp 所以在给定的条件 z 1 displaystyle z leq 1 nbsp 下 运用绝对值不等式的基本性质和结论1 v n z k 0 a k z k k 0 a k v n 1 1 if z 1 displaystyle left v n z right leq sum k 0 infty left a k z right k leq sum k 0 infty a k v n 1 1 text if z leq 1 nbsp 即 v n z u n z z n 1 1 1 E n z z n 1 displaystyle left v n z right left frac u n z z n 1 right leq 1 to left 1 E n z right leq z n 1 nbsp 成立 引理 15 8 证明完毕 相关条目 编辑复分析 卡尔 魏尔施特拉斯延伸阅读 编辑Alford的 复分析 参考资料 编辑 Boas R P Entire Functions New York Academic Press Inc 1954 ISBN 0 8218 4505 5 OCLC 6487790 chapter 2 2 0 2 1 Rudin W Real and Complex Analysis 3rd Boston McGraw Hill 301 304 1987 ISBN 0 07 054234 1 OCLC 13093736 取自 https zh wikipedia org w index php title 魏尔施特拉斯分解定理 amp oldid 76622776, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,