零一律

零一律是概率论中的一條定理。它是安德雷·柯尔莫哥洛夫发现的，因此有时也叫柯尔莫哥洛夫零一律。其内容是：尾事件发生的概率只能是一（几乎肯定发生）或零（几乎肯定不发生）。

尾事件以随机变量的無窮序列定义。假设

${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots \,}$

是无窮多個的獨立的随机变量（不一定有同樣的分佈）。 記 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 為 ${\displaystyle X_{i}}$ 生成的 σ-代数，則一個尾事件 ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ 就是與任意有限多個這些隨機變量都獨立的事件。（注意： ${\displaystyle F}$ 屬於 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ，意味着事件 ${\displaystyle F}$ 发生或不发生由 ${\displaystyle X_{i}}$ 的值確定，但此條件不足以證明零一律。）

比如，序列${\displaystyle (X_{i})}$ 收斂便是一個尾事件。此外，級數

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }X_{k}}$

收斂也是一个尾事件。級數收斂且大于1的事件並不是尾事件，因为它不是与X₁的值无关。假如扔无窮多次硬币，则连续100次数字面向上的事件出现无限多次是一个尾事件。

直觀地看，若可以無視前任意多個 ${\displaystyle X_{i}}$ 的值，而仍能判斷某事件是否發生，則該事件為尾事件。

許多時候，運用零一律很易證得某事件的概率必為 0 或 1，但卻很難判斷兩者之中，何者為其真正的概率。

无限猴子定理是零一律的一个例子。

定理敍述

柯尔莫哥洛夫零一律更一般的论述对独立的 σ代数序列適用。令 (Ω, F ,P ) 是一个概率空间，F_n 為包含于 F 的一列相互独立的 σ-代数。 令

${\displaystyle G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}}$ 

是包含F_n, F_n+1, …的最小的 σ-代数。那么柯尔莫哥洛夫零一律斷言对任意的事件

${\displaystyle F\in \bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}$ 

都有 P (F ) = 0 或 1。

把以上的 F_n 取為由隨機變量 X_n 生成的 σ-代数，就得到定理對隨機變量的敍述。此時，尾事件定義為既在由所有的 X_n 生成的 σ-代数中可測，也與任意有限多個 X_n 都獨立的事件。換言之，尾事件是屬於 ${\displaystyle \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}}$  的事件。

相关条目

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参考资料

• Stroock, Daniel. Probability theory: An analytic view revised. Cambridge University Press. 1999. ISBN 978-0-521-66349-6. .
• Brzezniak, Zdzislaw; Zastawniak, Thomasz. Basic Stochastic Processes. Springer. 2000. ISBN 3-540-76175-6. 
• Rosenthal, Jeffrey S. A first look at rigorous probability theory. Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2006: 37. ISBN 978-981-270-371-2.