隸屬函數

隸屬函數（membership function）也稱為歸屬函數或模糊元函數，是模糊集合中會用到的函數，是一般集合中指示函數的一般化^[1]。指示函數可以說明一個集合中的元素是否屬於特定子集合。一元素的指示函數的值可能是0或是1，而一元素的隸屬函數會是0到1之間的數值，表示元素屬於某模糊集合的「真實程度」（degree of truth）。

例如質數為一集合，整數3屬於質數，其指示函數為1，整數4不屬於質數，其指示函數為0。但針對模糊集合，可能不會有如此明確的定義，假設胖子是模糊集合，可能體重80公斤的人其隸屬函數為0.9，體重70公斤的人其隸屬函數為0.8。

隸屬函數數值是在0到1之間，看似類似機率，但兩者是不同的概念。

隸屬函數最早是由盧菲特·澤德在1965年第一篇有關模糊集合的論文中提及，他在模糊集合的論文中，提出用值域在0到1之間的隸屬函數，針對定義域中所有的數值定義。

定義

針對集合${\displaystyle X}$ ，集合${\displaystyle X}$ 上的隸屬函數是將集合${\displaystyle X}$ 映射到單位實數區間${\displaystyle [0,1]}$ 的函數。

${\displaystyle X}$ 集合上的隸屬函數對應${\displaystyle X}$ 集合中的模糊子集。對應模糊集合${\displaystyle {\tilde {A}}}$ 的隸屬函數一般會用${\displaystyle \mu _{A}}$ 來表示。針對集合中的元素${\displaystyle X}$ ，${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ 的數值稱為${\displaystyle x}$ 對應模糊集合${\displaystyle {\tilde {A}}}$ 的隸屬度，表示符合模糊集合${\displaystyle {\tilde {A}}}$ 的程度。0表示元素${\displaystyle x}$ 不是模糊集合的元素，1表示元素${\displaystyle x}$ 是模糊集合的元素，0到1之間的值表示此元素部份符合模糊集合。

  模糊集合的隸屬函數

有時^[2]會用一個更通用的定義，隸屬函數的值可以是任意的固定代數或是数学结构中取值${\displaystyle L}$ ，一般會要求${\displaystyle L}$ 至少是偏序关系或是格 (数学)。一般值在[0, 1]之間的隸屬函數此時會稱為[0, 1]-值隸屬函數。

容度

隸屬函數的一個應用是在決策理論中的容度（capacity）。

在決策理論中，容度定義為函數${\displaystyle \nu }$ ，其定義域S是某個集合的子集，值域為${\displaystyle [0,1]}$ ，函數${\displaystyle \nu }$ 滿足集合定義上的單調而且正規化（也就是${\displaystyle \nu (\emptyset )=0,\nu (\Omega )=1}$ ）。這是廣義的機率量測（英语：Probability measure），其中可數可加性的概率公理不一定要成立。容度用來表示某一事件可能性的量測，而特定結果下，其容度的期望值可以對容度作Choquet積分（英语：Choquet integral）求得。

相關條目

• 去模糊化
• 模糊量測理論（英语：Fuzzy measure theory）
• 模糊集合運算（英语：Fuzzy set operations）
• 粗集合
• 模糊控制

參考資料

1. Timothy J. Ross. Fuzzy Logic with Engineering Applications. John Wiley & Sons. 8 April 2005: 178–. ISBN 978-0-470-86076-2. 
2. 最早是Goguen (1967).

參考書籍

• Zadeh L.A., 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353.
• Goguen J.A, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174