转动群

群作为数学的重要分支之一，吸引了大量数学家的研究，让好多人穷极一生。在多面体着色这一问题中，群起着非常重要的作用，尤其是波利亚计数定理，其中与波利亚计数定理密切相关的就是转动群，本文将介绍一些常用的转动群，方便大家使用。

常用的转动群

• 正四面体

正四面体有4个顶点，4个面，6条棱。，每个面都是正三角形。

转动群	顶点	面	棱	个数
不动	(1)^4	(1)^4	(1)^6	1
顶点-面心， ±120度	(1)^1(3)^1	(1)^1(3)^1	(3)^2	8
棱心-棱心， 180度	(2)^2	(2)^2	(1)^2(2)^2	3

• 正六面体

正六面体有8个顶点，6个面，12条棱，每个面都是正四边形。

转动群	顶点	面	棱	个数
不动	(1)^8	(1)^6	(1)^12	1
面心-面心， ±90度	(4)^2	(1)^2(4)^1	(4)^3	6
面心-面心，180度	(2)^4	(1)^2(2)^2	(2)^6	3
棱心-棱心，180度	(2)^4	(2)^3	(1)^2(2)^5	6
空间对角线，±120度	(3)^2(1)^2	(3)^2	(3)^4	8

• 正八面体

正八面体有6个顶点，8个面，12条棱，每个面都是正三角形。

转动群	顶点	面	棱	个数
不动	(1)^6	(1)^8	(1)^12	1
顶点-顶点， ±90度	(1)^2(4)^1	(4)^2	(4)^3	6
顶点-顶点，180度	(1)^2(2)^2	(2)^4	(2)^6	3
棱心-棱心，180度	(2)^3	(2)^4	(1)^2(2)^5	6
面心-面心，±120度	(3)^2	(3)^2(1)^2	(3)^4	8

• 正十二面体

正十二面体有20个顶点，12个面，30条棱，每个面都是正五边形。

转动群	顶点	面	棱	个数
不动	(1)^20	(1)^12	(1)^30	1
面心-面心， ±72度，±144度	(5)^4	(1)^2(5)^2	(5)^6	24
棱心-棱心，180度	(2)^10	(2)^6	(1)^2(2)^14	15
顶点-顶点，±120度	(1)^2(3)^6	(3)^4	(3)^10	20

• 正二十面体

正二十面体有12个顶点，20个面，30条棱，每个面都是正三角形。

转动群	顶点	面	棱	个数
不动	(1)^12	(1)^20	(1)^30	1
顶点-顶点， ±72度，±144度	(1)^2(5)^2	(5)^4	(5)^6	24
棱心-棱心，180度	(2)^6	(2)^10	(1)^2(2)^14	15
面心-面心，±120度	(3)^4	(1)^2(3)^6	(3)^10	20