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一月 01, 1970
五级运算, 在数学中, 亦称超, 5运算, 是迭代幂次之后和六级运算之前的超运算, 被定义为迭代幂次的迭代, 如同迭代幂次是冪的迭代一样, 以下为首五级超运算级别, 加法, displaystyle, underbrace, cdots, 乘法, displaystyle, times, underbrace, cdots, displaystyle, underbrace, times, times, cdots, times, 迭代冪次, displaystyle, underbrace, cdot, cdot. 在数学中 五级运算 亦称超 5运算 是迭代幂次之后和六级运算之前的超运算 五级运算被定义为迭代幂次的迭代 如同迭代幂次是冪的迭代一样 1 以下为首五级超运算级别 加法 a 1 b a b a 1 1 1 b displaystyle a 1 b a b a underbrace 1 1 cdots 1 b 乘法 a 2 b a b a a a b displaystyle a 2 b a times b underbrace a a cdots a b 冪 a 3 b a b a a a b displaystyle a 3 b a b underbrace a times a times cdots times a b 迭代冪次 a 4 b b a a a a b displaystyle a 4 b b a underbrace a a cdot cdot cdot a b 五级运算 a 5 b b a a a a b displaystyle a 5 b b a underbrace a cdot cdot cdot a a b 表达式x 5 2的前三个值 3 5 2的值约为7 626 1012 更大的x因表达式的值太大而无法显示在图表上 以上每一级超运算都是对上一级的迭代 例如 将五级运算和迭代幂次用超运算符号表示 2 5 3 displaystyle 2 5 3 意味着2连续迭代取幂自己3次 即2 4 2 4 2 displaystyle 2 4 2 4 2 可以计算出 2 5 3 2 4 2 4 2 2 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 16 65536 displaystyle 2 5 3 2 4 2 4 2 2 4 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 2 16 65536 目录 1 符号 2 例子 3 相关条目 4 参考文献符号 编辑关于五级运算的符号几乎没有达成共识 因此 有许多不同的方法来表记 但是 有些符号的使用较其他符号更广泛 有些符号具有明显的优缺点 五级运算可以超运算符号表示 如a 5 b displaystyle a 5 b nbsp 在这种表记方法中 a 3 b displaystyle a 3 b nbsp 即幂运算 可以解释为函数x a 2 x displaystyle x mapsto a 2 x nbsp 从1开始迭代b displaystyle b nbsp 次的结果 类似地 迭代幂次a 4 b displaystyle a 4 b nbsp 表示函数x a 3 x displaystyle x mapsto a 3 x nbsp 从1开始迭代b次的结果 五级运算a 5 b displaystyle a 5 b nbsp 表示函数x a 4 x displaystyle x mapsto a 4 x nbsp 从1开始迭代b次的结果 2 3 这也是本文大部分所使用的符号 在高德納箭號表示法中 a 5 b displaystyle a 5 b nbsp 表示为a b displaystyle a uparrow uparrow uparrow b nbsp 或a 3 b displaystyle a uparrow 3 b nbsp 在这个记法中 a b displaystyle a uparrow b nbsp 表示幂运算 而a b displaystyle a uparrow uparrow b nbsp 代表迭代幂次 通过继续添加箭头 该记法可以轻松地表记更高级的超运算 在康威鏈式箭號表示法中 a 5 b a b 3 displaystyle a 5 b a rightarrow b rightarrow 3 nbsp 4 另一个建议的符号是b a displaystyle b a nbsp 尽管这不能扩展到更高级的超运算 5 例子 编辑五级运算的值也可以从阿克曼函數的变量值表的第四行中的值中获得 如果A n m displaystyle A n m nbsp 由阿克曼递归關係A m 1 A m n 1 displaystyle A m 1 A m n 1 nbsp 与初始条件A 1 n a n displaystyle A 1 n an nbsp 和A m 1 a displaystyle A m 1 a nbsp 定义 那么a 5 b A 4 b displaystyle a 5 b A 4 b nbsp 6 五級運算是迭代幂次的迭代 而其基本運算 迭代幂次 尚未扩展到非整数高度 所以五级运算a 5 b displaystyle a 5 b nbsp 当前亦仅對整数a和b有定義 其中a gt 0且b 1 以及一些其他可能有唯一定义的整数值 与所有三级 冪 及更高级的超运算一样 五级运算具有以下适用于所有定義域内a和b的值的基本恒等式 1 5 b 1 displaystyle 1 5 b 1 nbsp a 5 1 a displaystyle a 5 1 a nbsp 此外 我们还可以定义 a 5 0 1 displaystyle a 5 0 1 nbsp a 5 1 0 displaystyle a 5 1 0 nbsp 五级运算生成大数的速度非常快 因此只有极少数非平凡的情况可以得出可以用常规符号表记的数 如下表所記 其中exp 10 n 10 n displaystyle exp 10 n 10 n nbsp x displaystyle x nbsp x 5 2 displaystyle x 5 2 nbsp x 5 3 displaystyle x 5 3 nbsp x 5 4 displaystyle x 5 4 nbsp 1 1 1 1 2 4 65 536 exp 10 65533 4 29508 displaystyle exp 10 65533 4 29508 nbsp 3 7 625 597 484 987 exp 10 7 625 597 484 986 1 09902 displaystyle exp 10 7 625 597 484 986 1 09902 nbsp 4 exp 10 3 2 19 displaystyle exp 10 3 2 19 nbsp 超过10153位 5 exp 10 4 3 33928 displaystyle exp 10 4 3 33928 nbsp 超过10102184 1257220888位 相关条目 编辑阿克曼函數 大数 葛立恆數 大数的历史 英语 History of large numbers 参考文献 编辑 Perstein Millard H Algorithm 93 General Order Arithmetic Communications of the ACM June 1962 5 6 344 doi 10 1145 367766 368160 Knuth D E Mathematics and computer science Coping with finiteness Science 1976 194 4271 1235 1242 Bibcode 1976Sci 194 1235K PMID 17797067 doi 10 1126 science 194 4271 1235 Blakley G R Borosh I Knuth s iterated powers Advances in Mathematics 英语 Advances in Mathematics 1979 34 2 109 136 MR 0549780 doi 10 1016 0001 8708 79 90052 5 Conway John Horton Guy Richard The Book of Numbers Springer 61 1996 2021 06 20 ISBN 9780387979939 原始内容存档于2021 07 04 存档副本 2021 06 20 原始内容存档于2021 05 06 Nambiar K K Ackermann functions and transfinite ordinals Applied Mathematics Letters 1995 8 6 51 53 MR 1368037 doi 10 1016 0893 9659 95 00084 4 取自 https zh wikipedia org w index php title 五级运算 amp oldid 79400282, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,