費馬原理

費馬原理（Fermat's principle）最早由法国科学家皮埃爾·德·費馬在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数的拐点。 ^[1]最初提出时，又名「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑^[2]。

皮埃爾·德·費馬

費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」：光沿着所需时间为平稳的路径传播。平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

費馬原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从費馬原理导出以下三个几何光学定律：

1. 光线在真空中的直线传播。
2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射， 入射角必须等于出射角。
3. 光的折射定律（斯涅尔定律）。

最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，所有这些路径的光線傳播时間都相等。

概述

 

 

光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形或混合形鏡子反射，最終抵達點P。

費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。^[1]

• 平面鏡：任意兩點的反射路徑光程是最小值。
• 半橢圓形鏡子：其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值。
• 半圓形鏡子：其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值。
• 如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。

光的反射

平面反射

 

光在平面上的反射

 

平面反射的光程

光从P点出发射向x点，反射到Q点。

P 点到 x点的距离 ${\displaystyle d1={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}$ 

Q 点 到 x 点的距离 ${\displaystyle d2={\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}$ 

從點P到點Q的光程 D 為

${\displaystyle D={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}$  。

根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。

取光程 ${\displaystyle D}$  對 ${\displaystyle x}$  的導數，令其為零：

${\displaystyle D'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}$ ${\displaystyle +{\frac {-l+x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=0}$  。

但其中

${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$ 

${\displaystyle -{\frac {l-x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=-\sin \theta _{2}}$  。

即

${\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}$ 

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}}$ 

这就是反射定律

半球面反射

光線從點Q傳播至點O時，會被半圓形鏡子反射，最終抵達點P。

R=5 半圆镜的反射点在圆的顶点，光程最长=2.82R

球面的半径=R

光线从直径一端Q射向球面，反射到直径另一端P

光程${\displaystyle D={\sqrt {y^{2}+(R+x)^{2}}}+{\sqrt {y^{2}+(-x+R)^{2}}}}$ 

因${\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2}}$ ;

所以

${\displaystyle D={\sqrt {2R^{2}+2xR}}+{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}$ 

根据费马原理， D'=0

${\displaystyle D'={\frac {R}{\sqrt {2R^{2}+2xR}}}-{\frac {R}{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}=0}$ 

解之， 得 ${\displaystyle x=0}$ ，代入D得到：

光程${\displaystyle D=2{\sqrt {2}}R}$ ，乃是一个最大值=2.8R；（最小值光程是从直径一端到Q另一端P，光程=2R）

光的折射

 

光線從介質１的點Q，在點Ｏ傳播進入介質２，發生折射，最後抵達介質２的點P。

如右圖所示，設定介質１、介質２的折射率分別為 ${\displaystyle n_{1}}$  、${\displaystyle n_{2}}$  ，光線從介質１在點Ｏ傳播進入介質２，則司乃耳定律以方程式表達為

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$  ；

其中，${\displaystyle \theta _{1}}$  為入射角，${\displaystyle \theta _{2}}$  為折射角。

從費馬原理，可以推導出司乃耳定律。光線在介質１與介質２的速度 ${\displaystyle v_{1}}$  和 ${\displaystyle v_{2}}$  分別為

${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}$  、

${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}$  ；

其中，${\displaystyle c}$  是真空光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率 ${\displaystyle n_{1}}$  和 ${\displaystyle n_{2}}$  都大於 ${\displaystyle 1}$  。

從點Q到點P的傳播時間 ${\displaystyle T}$  為

${\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}}$  。

根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間 ${\displaystyle T}$  對 ${\displaystyle x}$  的導數，設定其為零：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0}$  。

其中 ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$ 

${\displaystyle {\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}$ 

因此得到傳播速度與折射角的關係式：

${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}$  。

將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到司乃耳定律：

${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}}$  。

运动学

主条目：最速降线问题

伯努利家族的约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。^[3]他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为摆线。

參閱

• 费马
• 哈密顿原理
• 最小作用量原理
• 路径积分表述
• 惠更斯－菲涅耳原理

參考文獻

1. Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 106–111, 141, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.: pp. 255ff, 274, 345–346, 1988, ISBN 0-486-65632-2  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. http://www.guokr.com/article/22018/ （页面存档备份，存于互联网档案馆） 复活节闲扯：一场激动人心的数学公开挑战赛，果壳网。