費波那契質數

費波那契質數為費波那契數列F_n中的質數，其前幾項例子為:

F₃=2, F₄=3, F₅=5, F₇=13, F₁₁=89, F₁₃=233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, .... A005478

已知費波那契質數

未解決的數學問題：是否存在無限多個費波那契質數？

目前並不清楚是否存在無限多個費波那契質數。前33個費波那契質數在費波那契數列${\displaystyle F_{n}}$ 中的項指標n為：

n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839。   A001605

除了這些已證明的費波那契質數，以下指標n所代表的費波那契數為可能質數（英语：Probable prime）：

n = 104911, 130021, 148091, 201107, 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721, 2904353.^[1]

除了n = 4的例子之外，所有費波那契質數的指標n也是質數，因為當a可整除b時，${\displaystyle F_{a}}$ 也可整除${\displaystyle F_{b}}$ 。

在前10個質數p中，有8個p所對應的F_p也是質數—例外包括F₂ = 1及F₁₉ = 4181 = 37 × 113。然而當項指標增大時，費波那契質數越來越稀少。在10,000之內的1,229個質數p中，僅有26個對應到費波那契質數F_p（見上方例子n = 3, 4, 5, 7, ..., 9677，共26個）。^[2]

截至2014年8月 (2014-08)^[update]，已知最大的費波那契質數為F₈₁₈₃₉，共有17103位數。其為質數的結果是由David Broadhurst與Bouk de Water於2001年證明。^[3][4] 最大的可能費波那契質數為F_2904353，共有606974位數，由Henri Lifchitz於2014年發現。^[1]

另一方面，Nick MacKinnon證明了費波那契數列中，僅3, 5, 13三個數是孿生質數的成員。^[5]

參考資料

1. PRP Top Records, Search for : F(n) （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Retrieved 2014-08-12.
2. Sloane's A005478, A001605
3. Number Theory Archives announcement by David Broadhurst and Bouk de Water. [2015-01-18]. （原始内容于2021-04-28）. 
4. Chris Caldwell, The Top Twenty: Fibonacci Number （页面存档备份，存于互联网档案馆） from the Prime Pages. Retrieved 2009-11-21.
5. N. MacKinnon, Problem 10844, Amer. Math. Monthly 109, (2002), p. 78

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Fibonacci Prime. MathWorld.