证明π是无理数, 本條目存在以下問題, 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 2022年4月4日, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权协议, 译文需在编辑摘要注明来源, 或于讨论页顶部标记, href, template, translated, page, html, title, template, translated, page, translated, page, 标. 本條目存在以下問題 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 2022年4月4日 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 此條目没有列出任何参考或来源 2022年4月4日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 18世纪60年代 约翰 海因里希 朗伯首先证明出圆周率为无理数 即不能表示成两个整数之比 在19世纪 夏尔 埃尔米特给出了不需要微积分以外的预备知识的证明方法 此后又有玛丽 卡特赖特 英语 Mary Cartwright 伊万 尼云以及尼古拉 布尔巴基等人给出更为简洁的证明 另外由拉茨科维奇 米克洛什的证明方法简化了朗伯的证明方法 这些所给出证明方法都基于反证法 1882年 费迪南德 冯 林德曼进一步给出圆周率不仅为无理数 而且为超越数的证明 目录 1 朗伯的证明 2 卡特赖特的证明 3 尼云的证明 4 参见朗伯的证明 编辑1761年 朗伯通过如下所示的连分数来证明圆周率为无理数 tan x x 1 x 2 3 x 2 5 x 2 7 displaystyle tan x frac x 1 dfrac x 2 3 dfrac x 2 5 dfrac x 2 7 ddots nbsp 随后朗伯证明了如果x为非零有理数则该结果必为无理数 由于tan p 4 1 因此有p 4为无理数 即p为无理数 卡特赖特的证明 编辑考虑如下积分 I n x 1 1 1 z 2 n cos x z d z displaystyle I n x int 1 1 1 z 2 n cos xz mathrm d z nbsp 当n 2时 可以通过分部积分法得到递推式 x 2 I n x 2 n 2 n 1 I n 1 x 4 n n 1 I n 2 x displaystyle x 2 I n x 2n 2n 1 I n 1 x 4n n 1 I n 2 x nbsp 如果定义 J n x x 2 n 1 I n x displaystyle J n x x 2n 1 I n x nbsp 那么可以得到 J n x 2 n 2 n 1 J n 1 x 4 n n 1 x 2 J n 2 x displaystyle J n x 2n 2n 1 J n 1 x 4n n 1 x 2 J n 2 x nbsp 另外 由J0 x 2sin x以及J1 4x cos x 4sin x 于是对于所有自然数n满足 J n x x 2 n 1 I n x n P n x sin x Q n x cos x displaystyle J n x x 2n 1 I n x n P n x sin x Q n x cos x nbsp 在这里Pn x 与Qn x 都是由正整数为系数以及常数且最高次数不超过n的多项式 依赖于n 令x p 2 如果存在正整数a与b满足p 2 a b 于是有 a 2 n 1 n I n p 2 P n p 2 b 2 n 1 displaystyle frac a 2n 1 n cdot I n left frac pi 2 right P n left frac pi 2 right cdot b 2n 1 nbsp 等式右边为整数 而由于在长度为2的区间 1 1 时 被积函数取值范围介于0到1 于是有0 lt In x lt 2 另一方面 lim n a 2 n 1 n 0 displaystyle lim n to infty frac a 2n 1 n 0 nbsp 于是对于足够大的n 会出现 0 lt a 2 n 1 I n p 2 n lt 1 displaystyle 0 lt frac a 2n 1 cdot I n left frac pi 2 right n lt 1 nbsp 但在0与1之间不存在整数 矛盾 因此圆周率只能为无理数 尼云的证明 编辑此证明用到的性质为圆周率为正弦函数最小正零点 假设圆周率为有理数 即能表示成p a b的形式 其中a与b都是整数且b 0 不失一般性 假定a与b都是正整数 现给出任意正整数n 以及x为实数 定义如下两个函数 f x x n a b x n n F x f x f x f 4 x 1 n f 2 n x displaystyle begin aligned f x amp frac x n a bx n n F x amp f x f x f 4 x cdots 1 n f 2n x end aligned nbsp 引理一 F 0 F p 是一个整数 证明 对函数f展开 每项xk的系数都是ck n 的形式 其中ck为整数 当k lt n时等于0 因此 当k lt n时f k 0 0以及当n k 2n时f k 0 ck n 即无论何种情况f k 0 都是整数 于是F 0 也是整数 另一方面 由于f p x f x 因此对于每个自然数k有 1 kf k p x f k x 特别地即有 1 kf k p f k 0 因此f k p 为整数 F p 也是整数 从而得到F 0 F p 是一个整数 引理二 0 p f x sin x d x F 0 F p displaystyle int 0 pi f x sin x mathrm d x F 0 F pi nbsp 证明 由于f 2n 2 为零多项式 因此有 F x F x f x displaystyle F x F x f x nbsp 根据三角函数的导数有sin cos以及cos sin 再由乘积法则得到 F x sin x F cos x f x sin x displaystyle F x sin x F cos x f x sin x nbsp 又由微积分基本定理得 0 p f x sin x d x F x sin x F cos x 0 p F 0 F p displaystyle int 0 pi f x sin x mathrm d x F x sin x F cos x bigg 0 pi F 0 F pi nbsp 在这里用到了前面所提及的圆周率的正弦函数零点性质 即sin 0 sin p 0以及cos 0 cos p 1 结论 由于当0 lt x lt p时有f x gt 0以及sin x gt 0 在这里是因为圆周率为正弦函数最小正零点 以及引理一与引理二说明F 0 F p 是正整数 又由于当0 x p时有0 x a bx pa以及0 sin x 1 因此可以得到 0 p f x sin x d x p p a n n displaystyle int 0 pi f x sin x mathrm d x leqslant frac pi pi a n n nbsp 当n足够大时 该结果将会小于1 于是有F 0 F p lt 1 从而出现矛盾 参见 编辑证明e是无理数 取自 https zh wikipedia org w index php title 证明p是无理数 amp oldid 70989592, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,