覆疊空間

在拓撲學中，拓撲空間${\displaystyle X}$的覆疊空間是一對資料${\displaystyle (Y,p)}$，其中${\displaystyle Y}$是拓撲空間，${\displaystyle p:Y\to X}$是連續的滿射，並存在${\displaystyle X}$的一組開覆盖

${\displaystyle X=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U}$

使得對每個${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$，存在一個離散拓撲空間${\displaystyle F}$及同胚：${\displaystyle \phi _{U}:U\times F\simeq p^{-1}(U)}$，而且${\displaystyle p\circ \phi _{U}:U\times F\to U}$是對第一個坐標的投影。

滿足上述性質的${\displaystyle p:Y\to X}$稱為覆疊映射。當${\displaystyle X}$連通時，${\displaystyle F}$的基數是個常數，稱為覆疊的次數或重數。

空間${\displaystyle X}$的覆疊構成一個範疇${\displaystyle \mathbf {Cov} _{X}}$，其對象形如${\displaystyle p:Y\to X}$，從${\displaystyle p:Y\to X}$到${\displaystyle q:Z\to X}$態射是連續映射${\displaystyle f:Y\to Z}$，且${\displaystyle q\circ f=p}$。

例子

 

覆疊空間的例子：${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$ 

• 考慮映射${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$ ，${\displaystyle p(x)=e^{2\pi ix}}$ 。對任意${\displaystyle s=e^{2\pi it}\in \mathbb {S} ^{1}}$ ，取其開鄰域

${\displaystyle U:=\{e^{2\pi is}:|s-t|<{\frac {1}{2}}\}\simeq (-1/2,1/2)}$ 

${\displaystyle f:(-1/2,1/2)\times \mathbb {Z} {\stackrel {\sim }{\to }}p^{-1}(U),\quad f(t,n)=t+n}$ 

由此可見${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$ 是覆疊映射。

• 莫比烏斯帶的二重覆疊空間是 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times [0,1]}$ 。

性质

局部性质 对于任何一个覆叠${\displaystyle p:C\to X}$ 都是一个局部同胚，这就是说，对任意的${\displaystyle c\in C}$ ，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且覆叠p变为同胚。 纤维上的同胚

萬有覆疊空間

連通空間${\displaystyle X}$ 的萬有覆疊空間（若其存在）是範疇${\displaystyle \mathbf {Cov} _{X}}$ 的初始對象${\displaystyle u:{\tilde {X}}\to X}$ ，換言之，對每個覆疊${\displaystyle p:X'\to X}$ ，存在唯一的連續映射${\displaystyle f:{\tilde {X}}\to X'}$ 使得${\displaystyle p\circ f=u}$ 。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$ 便是一例。

若要求${\displaystyle X}$ 局部道路連通且局部單連通，則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形和單純複形。在同樣前提下，覆疊${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$ 是萬有覆疊的充要條件是基本群${\displaystyle \pi _{1}({\tilde {X}},*)=\{e\}}$ 。

正則覆疊及主叢

以下同樣要求${\displaystyle X}$ 連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射${\displaystyle p:Y\to X}$ ，選定${\displaystyle x\in X}$ 。在${\displaystyle \mathbf {Cov} _{X}}$ 中的自同構群${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)}$ 在纖維${\displaystyle p^{-1}(x)}$ 上的作用是自由的（即：${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)\to \mathrm {Aut} (p^{-1}(x))}$ 是單射），對於${\displaystyle x\in X}$ 的不同選取，此作用僅差個自然的同構。

若${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)}$ 的作用是傳遞的，則稱${\displaystyle p:Y\to X}$ 為正則覆疊。萬有覆疊必正則，反之則不然。按照纖維叢的觀點，覆疊空間正是離散纖維的纖維叢，正則覆疊對應到主叢。

文獻

• Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2008-05-15]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容于2018-05-19）.