虛功

在分析力學裏，施加於某物體的作用力，由於給定的虛位移，所做的機械功，稱為虛功（英語：virtual work）。以方程式表達，虛功${\displaystyle \delta W}$是

粒子的運動軌道與虛軌道分別為${\displaystyle x(t)}$與${\displaystyle x'(t)}$。在位置${\displaystyle x_{1}}$、時間${\displaystyle t_{1}}$，虛位移為${\displaystyle \delta x}$。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為${\displaystyle x_{0}}$與${\displaystyle x_{2}}$。

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {F} }$是作用力，${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$是虛位移。

在這篇文章裏，位移指的是平移運動所造成的位移或旋轉運動所造成的角位移；作用力指的是力量或力矩。虛位移不是實際的位移，而是一種虛構的、理論上的位移，是一種只涉及位置，不涉及時間的變化。每一個虛位移既是自變量（independent variable），又是任意設定的。任意性是一個很重要的特性，在數學關係式裏，能夠推導出許多重要的結果。例如，思考下述矩陣方程式：

${\displaystyle \mathbf {R} ^{T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {q} }$；

其中，${\displaystyle \mathbf {R} ,\ \mathbf {r} ,\ \mathbf {q} }$都是向量，${\displaystyle \mathbf {B} }$是方塊矩陣。

假若，${\displaystyle \mathbf {R} }$是個任意非零向量，則可以將任意項目${\displaystyle \mathbf {R} }$從方程式中除去，得到${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {B} \mathbf {q} }$。

虛功原理

虛功原理闡明，一個物理系統處於靜態平衡（static equilibrium），若且唯若，所有施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所做的虛功的總和等於零^[1][2]。以方程式表達，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ 。

考慮一個由一群質點組成，呈靜態平衡的物理系統，其內部任意一個質點${\displaystyle P_{i}}$ 可能感受到很多個作用力。這些作用力的總和${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}}$ 等於零：

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}=0}$ 。

給予這質點${\displaystyle P_{i}}$  虛位移${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$ ，則合力${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}}$ 所做的虛功${\displaystyle \delta W_{i}}$ 為零：

${\displaystyle \delta W_{i}=\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ 。

總合這系統內做於每一個質點的虛功，其答案也是零：

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ 。

將合力細分為外力${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ 與約束力${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$ ：

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ 。

假設所有約束力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零^[3]：

${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ ，

則約束力項目可以從方程式中除去，從而得到虛功原理的方程式：

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ 。

注意到這推論裏的約束力假設。在這裏，約束力就是牛頓第三定律的反作用力。因此，可以稱此假設為反作用力的虛功假設：所有反作用力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零。這是分析力學額外設立的假設，無法從牛頓運動定律推導出來^[1]。

在動力學裏，虛功原理會被推廣為達朗貝爾原理。這原理是拉格朗日力學的理論基礎。更詳盡細節，請參閱相關條目。

適用案例

在此特別列出幾個案例，展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零：

• 剛體的約束條件是一種完整約束，以方程式表達，${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=L_{ij}^{2}}$ ；其中，剛體內部的質點${\displaystyle P_{i}}$ 、${\displaystyle P_{j}}$ 的位置分別為${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$ ，它們之間的距離${\displaystyle L_{ij}}$ 是個常數。所以，兩個質點的虛位移${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$ 、${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}}$ 之間的關係為

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=2(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})(\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}$ 。

在這裏，有兩種可能的狀況：

1、${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\delta \mathbf {r} _{j}}$ ：

對於這狀況，由於${\displaystyle \mathbf {C} _{ji}=-\mathbf {C} _{ij}}$ ，兩個作用力所做的虛功相互抵銷，也就是說，

${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=0}$ ，

所以，約束力所做的虛功的總合是零。

2、${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\perp (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})}$  :

由於${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\ \|\ \mathbf {C} _{ji}\ \|\ (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}$ ，

${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0}$ 。

所以，約束力所做的虛功的總合是零。

所以，在剛體內，質點與質點之間的約束力所作的虛功的總合是零。

• 思考置放於平滑地面上的一塊木塊。因為木塊的重量，而產生的反作用力，是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例，符合約束條件的虛位移必須與地面平行，所以，地面施加的約束力垂直於虛位移，它所作的虛功等於零。^[3]。

在位形空間的意義

將一般的作用力和坐標分別變換為以廣義力${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ 和廣義坐標${\displaystyle q_{i}}$ 表達，

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}{\mathcal {F}}_{i}\delta q_{i}=0}$ 。

設定一個${\displaystyle N}$ 維位形空間，其坐標為${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$ ，其內中表示位置的點稱為位形點。想像這物理系統移動於這位形空間。在這位形空間裏，廣義力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}=(F_{1},F_{2},\dots ,F_{N})}$ 垂直於符合約束條件的虛位移${\displaystyle \delta \mathbf {q} =(\delta q_{1},\delta q_{2},\dots ,\delta q_{N})}$ 。

假設，這物理系統沒有任何約束條件，則虛位移可以是任意向量。但是，廣義力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$ 不可能垂直於${\displaystyle N}$ 維位形空間裏的每一個向量，所以，廣義力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$ 必須等於零。

假設，這物理系統有${\displaystyle L}$ 個約束條件，則自由度為${\displaystyle N-L}$ ，位形點必需處於位形空間的某${\displaystyle N-L}$ 維子空間，而廣義力${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}}$ 必須垂直於這子空間，因此必需使用${\displaystyle N-L}$ 個運動方程式來表達這物理系統。

保守系統

假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是純量的廣義位勢函數${\displaystyle V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})}$ 的對於其對應的廣義坐標的負偏導數：

${\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}}$ 。

虛功與廣義位勢的關係為

${\displaystyle \delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0}$ 。

由於位勢的變分${\displaystyle \delta V}$ 等於零，一個靜態平衡系統的位勢${\displaystyle V}$ 乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這系統處於穩定狀態，則位勢${\displaystyle V}$ 必須是個局域極小值。

參見

• 柔度法（英语：flexibility method）
• 拉格朗日力学
• 哈密頓力学

參考文獻

1. Lanczos, Cornelius, The Variational Principles of Mechanics, Dovers Publications, Inc: pp. 74–87, 1970, ISBN 978-0-486-65067-8  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Torby, Bruce, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America: CBS College Publishing: pp. 263, 1984, ISBN 0-03-063366-4 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. Addison Wesley. 1980: pp. 17. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部連結

• 虚功原理的应用实例 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）