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莫德尔猜想

行進 28, 2023

莫德爾猜想（Mordell conjecture），又稱法爾廷斯定理（Faltings's theorem），是一個由路易·莫德爾（英语：Louis Mordell）[1]提出的算術幾何猜想，這猜想認為，任何有理數域上虧格數大於一的曲線至多只有有限多個有理點。這猜想於1983年為格尔德·法尔廷斯所證明[2]，並從此改名為法爾廷斯定理，而之後這猜想被推廣至任何代數數域上。

法爾廷斯定理
格尔德·法尔廷斯
領域算術幾何
猜想提出者路易·莫德爾（英语：Louis Mordell）
猜想提出年1922
最初證明者格尔德·法尔廷斯
最初證明年1983
推廣邦別里－朗猜想（英语：Bombieri–Lang conjecture）
莫德爾－朗猜想（英语：Mordell–Lang conjecture）
可得結果西葛爾的整數點定理（英语：Siegel's theorem on integral points）

背景

設C為一個非特異（英语：Singular point of an algebraic variety）的、位於有理數域上且虧格數為g的代數曲線，則C上的有理點可由下列關係決定：

  • 當g = 0時，C要不沒有有理點，要不有無限多的有理點，此情況下C可視為圓錐曲線。
  • 當g = 1時，C沒有有理點，或者為一個有理點構成有限生成阿貝爾群的橢圓曲線（此即莫德爾定理，之後被推廣為莫德爾－韋伊定理（英语：Mordell–Weil theorem））；此外，馬祖爾撓定理（英语：Mazur's torsion theorem）對相關的撓子群的結構做出限制。
  • 當g > 1時，根據現在又稱法爾廷斯定理的莫德爾猜想，C只有有限多的有理點。

證明

伊戈尔·沙法列维奇（英语：Igor Shafarevich）曾猜想說在一個固定的數域上有著固定的維度與極化度（polarization degree）、且在固定的位構成的有限集合之外有著良好簡化（Good reduction）的交換簇（英语：Abelian variety）之上，只有有限個同構類，而這即是沙法列维奇的有限猜想。[3]阿列克謝·帕辛（英语：Aleksei Parshin）使用現在稱為帕辛技巧的方法，指出說沙法列维奇的有限猜想可推出莫德爾猜想。[4]

格尔德·法尔廷斯利用了泰特猜想（英语：Tate conjecture）一個情況已知的簡化，以及包括內倫模型（英语：Néron model）等源自代數幾何的工具，證明了沙法列维奇的有限猜想。[5]而這證明的主要想法，是利用西葛爾模簇（英语：Abelian variety）來比較高度函數（英语：Height function）中的法爾廷斯高度及古典高度。[a]

後來的證明

  • 保羅·波伊大（英语：Paul Vojta）給出一個基於丟番圖逼近的證明；[6]之後恩里科·邦別里找到了波伊大的證明中一個更加初等的版本。[7]
  • 布萊恩·勞倫斯（Brian Lawrence）及阿克沙伊·文卡泰什給出一個基於p進數霍奇定理（英语：P-adic Hodge theory）的證明，而這證明借鑿了法爾廷斯原始證明中一些較簡單的成分。[8]

可得結果

法爾廷斯在1983年的論文可推出一系列先前受猜想的內容：

  • 莫德爾猜想，也就是在代數數域上虧格數大於1的曲線只有有限多個有理點；
  • 同類定理（Isogeny theorem），也就是帶有同構泰特模（英语：Tate module）（也就是帶有伽羅瓦作用的Qℓ－模）的交換簇（英语：Abelian variety）是同類（英语：Isogeny）的。

法爾廷斯定裡的一個應用是費馬最後定理的弱形式：對於任意大於等於4的固定整數n，an + bn = cn至多只有有限的原始整數解（也就是彼此互質的解），而這是因為對於這樣的n而言，費馬曲線（英语：Fermat curve） xn + yn = 1的虧格數大於1之故。

推廣

由於莫德爾－韋伊定理（英语：Mordell–Weil theorem）之故，因此法爾廷斯定理可重述為一個關於帶有交換簇A的有限生成子群Γ的曲線C的交點的敘述，因此可透過將其中交換簇A改成半交換簇（semiabelian variety）、將C改成A的任意子簇，以及將Γ改成A的任意有限秩子集的作法，將之推廣為莫德爾－朗猜想（英语：Mordell–Lang conjecture），而這猜想由麥克·麥奎蘭（英语：Michael McQuillan (mathematician)）[9]在洛朗（Laurent）、雷诺、辛追（Hindry）、波伊大（英语：Paul Vojta）以及法爾廷斯等人成就的基礎上，於1995年所證明。

法爾廷斯定理的另一個高維推廣是邦別里－朗猜想（英语：Bombieri–Lang conjecture），也就是若X是一個在數域k上的偽典型簇（英语：pseudo-canonical variety）（也就是「一般類型」的代數簇），那麼X(k)在扎里斯基拓扑的意義上並非稠密的。保羅·波伊大（英语：Paul Vojta）並提出了更加一般化的猜想。

函數域上的莫德爾猜想由尤里·马宁[10]以及漢斯·格勞爾特（英语：Hans Grauert）[11]所證明，在1990年，罗伯特·F·科尔曼找到並修補了马宁證明中的一個漏洞。[12]

註解

  1. ^ 「法爾廷斯藉由西葛爾模空間的方法比較了高度的兩種表記…這是證明的主要想法」（原文："Faltings relates the two notions of height by means of the Siegel moduli space.... It is the main idea of the proof."）Bloch, Spencer. The Proof of the Mordell Conjecture. The Mathematical Intelligencer. 1984, 6 (2): 44. S2CID 306251. doi:10.1007/BF03024155. 

引用

  1. ^ Mordell 1922.
  2. ^ Faltings 1983；Faltings 1984.
  3. ^ Shafarevich 1963.
  4. ^ Parshin 1968.
  5. ^ Faltings 1983.
  6. ^ Vojta 1991.
  7. ^ Bombieri 1990.
  8. ^ Lawrence 2020.
  9. ^ McQuillan 1995.
  10. ^ Manin 1963.
  11. ^ Grauert 1965.
  12. ^ Coleman 1990.

參考資料

  • Bombieri, Enrico. The Mordell conjecture revisited. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 1990, 17 (4): 615–640. MR 1093712. 
  • Coleman, Robert F. . L'Enseignement Mathématique. 2e Série. 1990, 36 (3): 393–427. ISSN 0013-8584. MR 1096426. （原始内容存档于2011-10-02）. 
  • Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (编). Arithmetic geometry. Papers from the conference held at the University of Connecticut, Storrs, Connecticut, July 30 – August 10, 1984. New York: Springer-Verlag. 1986. ISBN 0-387-96311-1. MR 0861969. doi:10.1007/978-1-4613-8655-1.  → Contains an English translation of Faltings (1983)
  • Faltings, Gerd. Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields]. Inventiones Mathematicae. 1983, 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. MR 0718935. doi:10.1007/BF01388432 （德语）. 
  • Faltings, Gerd. Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Inventiones Mathematicae. 1984, 75 (2): 381. MR 0732554. doi:10.1007/BF01388572   （德语）. 
  • Faltings, Gerd. Diophantine approximation on abelian varieties. Ann. of Math. 1991, 133 (3): 549–576. JSTOR 2944319. MR 1109353. doi:10.2307/2944319. 
  • Faltings, Gerd. Cristante, Valentino; Messing, William , 编. Barsotti Symposium in Algebraic Geometry. Papers from the symposium held in Abano Terme, June 24–27, 1991.. Perspectives in Mathematics. San Diego, CA: Academic Press, Inc. 1994. ISBN 0-12-197270-4. MR 1307396.  |chapter=被忽略 (帮助)
  • Grauert, Hans. Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1965, 25 (25): 131–149. ISSN 1618-1913. MR 0222087. doi:10.1007/BF02684399. 
  • Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diophantine geometry. Graduate Texts in Mathematics 201. New York: Springer-Verlag. 2000. ISBN 0-387-98981-1. MR 1745599. doi:10.1007/978-1-4612-1210-2.  → Gives Vojta's proof of Faltings's Theorem.
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行進 28, 2023
莫德尔猜想, 莫德爾猜想, mordell, conjecture, 又稱法爾廷斯定理, faltings, theorem, 是一個由路易, 莫德爾, 英语, louis, mordell, 提出的算術幾何猜想, 這猜想認為, 任何有理數域上虧格數大於一的曲線至多只有有限多個有理點, 這猜想於1983年為格尔德, 法尔廷斯所證明, 並從此改名為法爾廷斯定理, 而之後這猜想被推廣至任何代數數域上, 法爾廷斯定理格尔德, 法尔廷斯領域算術幾何猜想提出者路易, 莫德爾, 英语, louis, mordell, 猜想提出. 莫德爾猜想 Mordell conjecture 又稱法爾廷斯定理 Faltings s theorem 是一個由路易 莫德爾 英语 Louis Mordell 1 提出的算術幾何猜想 這猜想認為 任何有理數域上虧格數大於一的曲線至多只有有限多個有理點 這猜想於1983年為格尔德 法尔廷斯所證明 2 並從此改名為法爾廷斯定理 而之後這猜想被推廣至任何代數數域上 法爾廷斯定理格尔德 法尔廷斯領域算術幾何猜想提出者路易 莫德爾 英语 Louis Mordell 猜想提出年1922最初證明者格尔德 法尔廷斯最初證明年1983推廣邦別里 朗猜想 英语 Bombieri Lang conjecture 莫德爾 朗猜想 英语 Mordell Lang conjecture 可得結果西葛爾的整數點定理 英语 Siegel s theorem on integral points 目录 1 背景 2 證明 2 1 後來的證明 3 可得結果 4 推廣 5 註解 6 引用 7 參考資料背景 编辑設C為一個非特異 英语 Singular point of an algebraic variety 的 位於有理數域上且虧格數為g的代數曲線 則C上的有理點可由下列關係決定 當g 0時 C要不沒有有理點 要不有無限多的有理點 此情況下C可視為圓錐曲線 當g 1時 C沒有有理點 或者為一個有理點構成有限生成阿貝爾群的橢圓曲線 此即莫德爾定理 之後被推廣為莫德爾 韋伊定理 英语 Mordell Weil theorem 此外 馬祖爾撓定理 英语 Mazur s torsion theorem 對相關的撓子群的結構做出限制 當g gt 1時 根據現在又稱法爾廷斯定理的莫德爾猜想 C只有有限多的有理點 證明 编辑伊戈尔 沙法列维奇 英语 Igor Shafarevich 曾猜想說在一個固定的數域上有著固定的維度與極化度 polarization degree 且在固定的位構成的有限集合之外有著良好簡化 Good reduction 的交換簇 英语 Abelian variety 之上 只有有限個同構類 而這即是沙法列维奇的有限猜想 3 阿列克謝 帕辛 英语 Aleksei Parshin 使用現在稱為帕辛技巧的方法 指出說沙法列维奇的有限猜想可推出莫德爾猜想 4 格尔德 法尔廷斯利用了泰特猜想 英语 Tate conjecture 一個情況已知的簡化 以及包括內倫模型 英语 Neron model 等源自代數幾何的工具 證明了沙法列维奇的有限猜想 5 而這證明的主要想法 是利用西葛爾模簇 英语 Abelian variety 來比較高度函數 英语 Height function 中的法爾廷斯高度及古典高度 a 後來的證明 编辑 保羅 波伊大 英语 Paul Vojta 給出一個基於丟番圖逼近的證明 6 之後恩里科 邦別里找到了波伊大的證明中一個更加初等的版本 7 布萊恩 勞倫斯 Brian Lawrence 及阿克沙伊 文卡泰什給出一個基於p進數霍奇定理 英语 P adic Hodge theory 的證明 而這證明借鑿了法爾廷斯原始證明中一些較簡單的成分 8 可得結果 编辑法爾廷斯在1983年的論文可推出一系列先前受猜想的內容 莫德爾猜想 也就是在代數數域上虧格數大於1的曲線只有有限多個有理點 同類定理 Isogeny theorem 也就是帶有同構泰特模 英语 Tate module 也就是帶有伽羅瓦作用的Qℓ 模 的交換簇 英语 Abelian variety 是同類 英语 Isogeny 的 法爾廷斯定裡的一個應用是費馬最後定理的弱形式 對於任意大於等於4的固定整數n an bn cn至多只有有限的原始整數解 也就是彼此互質的解 而這是因為對於這樣的n而言 費馬曲線 英语 Fermat curve xn yn 1的虧格數大於1之故 推廣 编辑由於莫德爾 韋伊定理 英语 Mordell Weil theorem 之故 因此法爾廷斯定理可重述為一個關於帶有交換簇A的有限生成子群G的曲線C的交點的敘述 因此可透過將其中交換簇A改成半交換簇 semiabelian variety 將C改成A的任意子簇 以及將G改成A的任意有限秩子集的作法 將之推廣為莫德爾 朗猜想 英语 Mordell Lang conjecture 而這猜想由麥克 麥奎蘭 英语 Michael McQuillan mathematician 9 在洛朗 Laurent 雷诺 辛追 Hindry 波伊大 英语 Paul Vojta 以及法爾廷斯等人成就的基礎上 於1995年所證明 法爾廷斯定理的另一個高維推廣是邦別里 朗猜想 英语 Bombieri Lang conjecture 也就是若X是一個在數域k上的偽典型簇 英语 pseudo canonical variety 也就是 一般類型 的代數簇 那麼X k 在扎里斯基拓扑的意義上並非稠密的 保羅 波伊大 英语 Paul Vojta 並提出了更加一般化的猜想 函數域上的莫德爾猜想由尤里 马宁 10 以及漢斯 格勞爾特 英语 Hans Grauert 11 所證明 在1990年 罗伯特 F 科尔曼找到並修補了马宁證明中的一個漏洞 12 註解 编辑 法爾廷斯藉由西葛爾模空間的方法比較了高度的兩種表記 這是證明的主要想法 原文 Faltings relates the two notions of height by means of the Siegel moduli space It is the main idea of the proof Bloch Spencer The Proof of the Mordell Conjecture The Mathematical Intelligencer 1984 6 2 44 S2CID 306251 doi 10 1007 BF03024155 引用 编辑 Mordell 1922 Faltings 1983 Faltings 1984 Shafarevich 1963 Parshin 1968 Faltings 1983 Vojta 1991 Bombieri 1990 Lawrence 2020 sfn error no target CITEREFLawrence2020 help McQuillan 1995 Manin 1963 Grauert 1965 Coleman 1990 參考資料 编辑Bombieri Enrico The Mordell conjecture revisited Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci 1990 17 4 615 640 MR 1093712 Coleman Robert F Manin s proof of the Mordell conjecture over function fields L Enseignement Mathematique 2e Serie 1990 36 3 393 427 ISSN 0013 8584 MR 1096426 原始内容存档于2011 10 02 Cornell Gary Silverman Joseph H 编 Arithmetic geometry Papers from the conference held at the University of Connecticut Storrs Connecticut July 30 August 10 1984 New York Springer Verlag 1986 ISBN 0 387 96311 1 MR 0861969 doi 10 1007 978 1 4613 8655 1 Contains an English translation of Faltings 1983 Faltings Gerd Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern Finiteness theorems for abelian varieties over number fields Inventiones Mathematicae 1983 73 3 349 366 Bibcode 1983InMat 73 349F MR 0718935 doi 10 1007 BF01388432 德语 Faltings Gerd Erratum Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern Inventiones Mathematicae 1984 75 2 381 MR 0732554 doi 10 1007 BF01388572 德语 Faltings Gerd Diophantine approximation on abelian varieties Ann of Math 1991 133 3 549 576 JSTOR 2944319 MR 1109353 doi 10 2307 2944319 Faltings Gerd Cristante Valentino Messing William 编 Barsotti Symposium in Algebraic Geometry Papers from the symposium held in Abano Terme June 24 27 1991 Perspectives in Mathematics San Diego CA Academic Press Inc 1994 ISBN 0 12 197270 4 MR 1307396 chapter 被忽略 帮助 Grauert Hans Mordells Vermutung uber rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkorper Publications Mathematiques de l IHES 1965 25 25 131 149 ISSN 1618 1913 MR 0222087 doi 10 1007 BF02684399 Hindry Marc Silverman Joseph H Diophantine geometry Graduate Texts in Mathematics 201 New York Springer Verlag 2000 ISBN 0 387 98981 1 MR 1745599 doi 10 1007 978 1 4612 1210 2 Gives Vojta s proof of Faltings s Theorem Lang Serge Survey of Diophantine geometry Springer Verlag 1997 101 122 ISBN 3 540 61223 8 Lawrence Brian Venkatesh Akshay Diophantine problems and p adic period mappings Invent Math 2020 221 3 893 999 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