自由逻辑

自由逻辑是免除存在性假定的逻辑。或者说，它是定理在包括空域的所有论域中都有效的逻辑。

解说

在经典逻辑中，有些定理明确的假定在论域中必须有东西。考虑下列经典的有效定理。

1. ${\displaystyle \forall xA(x)\rightarrow \exists xA(x)}$ ;

2. ${\displaystyle \forall xA(x)\rightarrow A(r/x)}$  (这里的 r 对于 A(x) 中的 x 不自由出现，而 A(r/x) 是代换 A(x) 中 x 的所有自由出现的结果);

3. ${\displaystyle A(r)\rightarrow \exists xA(x/r)}$  (这里的 r 对于 A(x) 中的 x 不自由出现)。

在等价理论中的一个有效的模式展示了同样的特征

4. ${\displaystyle \forall x(F(x)\rightarrow G(x))\land \exists xF(x)\rightarrow \exists x(F(x)\land G(x))}$ 。

非形式的，如果 F 是‘ =y’, G 是‘是天马’，而我们代换 y 为‘天马’，则 (4) 就允许我们从‘同一于天马的所有东西都是天马’推出某些东西同一于天马。问题来自把变量代换为无指派(nondesignating)的常量: 事实上，我们在一阶逻辑的标准公式中不能这么做，因为这里没有无指派常量。古典上，∃x(x=y) 是通过特殊化(就是前面的(3))而演绎自开放等价公理 y=y。

在自由逻辑中，(1)被替代为

1b. ${\displaystyle \forall xA(x)\land E!t\rightarrow \exists xA(x)}$ , 这里的 E! 是一个存在谓词(在自由逻辑的某些但不是所有的公式中，E!t 可以被定义为 ∃y(y=t))。

可以对存在性引入的其他定理做类似的修改(比如，特殊化规则变成为 (A(r) → (E!r → ∃xA(x)))。

自由逻辑的公理化由 Hintikka (1959)、Lambert (1967)、Hailperin (1957) 和 Mendelsohn (1989) 给出。

来源

• K. Lambert, "Existential Import Revisited", Notre Dame Journal of Formal Logic, October 1963, p.288-292