等M圓及等N圓

等M圓及等N圓（M-circles and N-circles）英文也稱為是Hall circles，是控制理论中利用開迴路傳遞函數的奈奎斯特圖（或尼柯尔斯图）來求得其閉迴路傳遞函數數值的繪圖工具。此作法最早是由Albert C. Hall在其控制理論的論文中提出^[1]。

藍色的是開迴路傳遞函數${\displaystyle G(s)=1/(s+0.5)}$的奈奎斯特圖，上面也放了等M圓及等N圓。M = 0.45的等M圓以紅色表示，和奈奎斯特圖相交於${\displaystyle \omega \approx \pm 1.64}$的頻率

建構方式

考慮閉迴路線性控制系統，其開迴路傳遞函數為${\displaystyle G(s)}$ ，反饋路徑的增益為1。其閉迴路傳遞函數為${\textstyle T(s)={\frac {G(s)}{1+G(s)}}}$ 。

若要確認T(s)的穩定性，可以用開迴路傳遞函數G(s)的奈奎斯特圖配合奈奎斯特稳定判据來確認。不過若只靠奈奎斯特圖，無法知道T(s)的數值。為了要在G(s)平面上得到這些資訊，Hall在G(s)平面加上了使T(s)有固定大小以及有固定相位的二組曲線。

假設一正值M表示固定的大小，令G(s)為z，滿足

$${\displaystyle M=|T(s)|={\frac {|G(s)|}{|1+G(s)|}}={\frac {|z|}{|1+z|}}}$$

 

的點是那些在G(s)平面上和0的距離以及和-1的距離比例為M倍的點。這些符合條件的點z的軌跡為阿波羅尼斯圓（英语：circles of Apollonius），在控制系統中稱為等M圖。

若假設一正值N表示相位角，滿足

$${\displaystyle N=\arg \left[{\frac {G(s)}{1+G(s)}}\right]=\arg[G(s)]-\arg[1+G(s)]=\arg[z]-\arg[1+z]}$$

 

的點。滿足此條件的點z的軌跡為圓弧^[2]，在控制系統中稱為等N圖。

用法

 

傳遞函數1/s(1+s)(1+2s)的尼柯尔斯图，以及調整後的等M圓及等N圓

若要使用此方法，會在開迴路傳遞函數的奈奎斯特圖上重疊不同數值的等M圓及等N圓，根據傳遞函數和等M圓及等N圓的交點即知道閉迴路傳遞函數的大小及相位。

等M圓及等N圓也可以和尼柯尔斯图一起使用，不過等M圓及等N圓會進行坐標轉換，其縱軸會是${\displaystyle 20\log _{10}(|G(s)|)}$ ，橫軸是${\displaystyle \arg(G(s))}$ 。尼柯尔斯图的好處是調整開迴路傳遞函數時，只要將曲線往上移即可。

相關條目

• 奈奎斯特圖
• 尼柯尔斯图

參考資料

1. C., Hall, Albert. The analysis and synthesis of linear servomechanisms. Cambridge: Technology Press, Massachusetts Institute of Technology. 1943. ISBN 9780262080736. OCLC 857968901. 
2. Munching on Inscribed Angles. cut-the-knot. [2018-05-25]. （原始内容于2021-04-25）. 

• Katsuhiko, Ogata. Modern control engineering 4th. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2002. ISBN 0130609072. OCLC 46619221. 
• S., Nise, Norman. Control systems engineering 5th. Hoboken, NJ: Wiley. 2008 [2018-12-28]. ISBN 9780471794752. OCLC 154798791. （原始内容于2009-02-07）.