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十一月 03, 2023
矩阵差分方程, 是一种差分方程, 其中某时刻的变量向量, 或矩阵, 与之前时刻的值通过矩阵相关, 方程的阶是变量向量任意两个指示值之间的最大时差, 例如, displaystyle, mathbf, mathbf, mathbf, 是二阶, 其中x, 是n, 变量向量, 是n, 矩阵, 该方程齐次, 因为方程末尾没有常数项向量, 同一个方程也可写成, displaystyle, mathbf, mathbf, mathbf, displaystyle, mathbf, mathbf, mathbf, 最常见的都是一. 矩阵差分方程是一种差分方程 其中某时刻的变量向量 或矩阵 与之前时刻的值通过矩阵相关 1 2 方程的阶是变量向量任意两个指示值之间的最大时差 例如 x t A x t 1 B x t 2 displaystyle mathbf x t mathbf Ax t 1 mathbf Bx t 2 是二阶矩阵差分方程 其中x 是n 1 变量向量 A B 是n n 矩阵 该方程齐次 因为方程末尾没有常数项向量 同一个方程也可写成 x t 2 A x t 1 B x t displaystyle mathbf x t 2 mathbf Ax t 1 mathbf Bx t 或 x n A x n 1 B x n 2 displaystyle mathbf x n mathbf Ax n 1 mathbf Bx n 2 最常见的矩阵差分方程都是一阶的 目录 1 非齐次一阶情形及稳态 2 一阶情形的稳定性 3 解一阶情形 4 从一阶矩阵系统中提取单一标量变量的动力特性 5 高阶情形的解与稳定性 6 非线性矩阵差分方程 黎卡提方程 7 另见 8 参考文献非齐次一阶情形及稳态 编辑非齐次一阶矩阵差分方程如 x t A x t 1 b displaystyle mathbf x t mathbf Ax t 1 mathbf b nbsp 与一个加性常向量 b 该系统的稳态是x 向量的值x 一旦达到就不会偏离 x 可通过置xt xt 1 x 解x 以得 x I A 1 b displaystyle mathbf x mathbf I mathbf A 1 mathbf b nbsp 其中I 是n n 单位矩阵 假定 I A 可逆 非齐次方程可用偏离稳态的齐次方程重写 x t x A x t 1 x displaystyle left mathbf x t mathbf x right mathbf A left mathbf x t 1 mathbf x right nbsp 一阶情形的稳定性 编辑一阶矩阵差分方程 xt x A xt 1 x 是稳定的 即当且仅当转移矩阵A 的所有特征值 无论实复 绝对值都小于1时 xt 才逐渐收敛到稳态x 解一阶情形 编辑假定方程齐次形式为yt Ayt 1 然后可从初始条件y0 开始迭代 y0 是y 的初值 必须得知才能求解 y 1 A y 0 y 2 A y 1 A 2 y 0 y 3 A y 2 A 3 y 0 displaystyle begin aligned mathbf y 1 amp mathbf Ay 0 mathbf y 2 amp mathbf Ay 1 mathbf A 2 mathbf y 0 mathbf y 3 amp mathbf Ay 2 mathbf A 3 mathbf y 0 end aligned nbsp 以此类推 由数学归纳法 用t 表示的解为 y t A t y 0 displaystyle mathbf y t mathbf A t mathbf y 0 nbsp 此外 若A 可对角化 就可用它的特征值和特征向量重写A 得到解 y t P D t P 1 y 0 displaystyle mathbf y t mathbf PD t mathbf P 1 mathbf y 0 nbsp 其中P 是n n 矩阵 列是A 的特征向量 假设特征值互异 D 是n n 对角矩阵 对角元是A 的特征值 这个解就是上述稳定性结果的依据 当且仅当A 的特征值绝对值都小于1 At 才会随时间收缩到零矩阵 从一阶矩阵系统中提取单一标量变量的动力特性 编辑从n 维系统yt Ayt 1 开始 可以提取其中一个状态变量 如y1 的动态变化 上述yt 的求解方程表明 y1 t 的解是根据A 的n 个特征值求得的 因此 描述y1 变化的方程本身必须有涉及特征值的解 这种描述直观地产生了y1 的演化方程 即 y 1 t a 1 y 1 t 1 a 2 y 1 t 2 a n y 1 t n displaystyle y 1 t a 1 y 1 t 1 a 2 y 1 t 2 dots a n y 1 t n nbsp 其中参数ai 来自A 的特征方程式 l n a 1 l n 1 a 2 l n 2 a n l 0 0 displaystyle lambda n a 1 lambda n 1 a 2 lambda n 2 dots a n lambda 0 0 nbsp 因此 n 维一阶线性系统中的每个标量变量都根据一元n 阶差分方程演化 与矩阵差分防尘具有相同的稳定性 高阶情形的解与稳定性 编辑可用分块矩阵将高阶矩阵差分方程转换到一阶 可以求解时滞超过一个周期的高阶方程 并分析其稳定性 例如 假设有二阶方程 x t A x t 1 B x t 2 displaystyle mathbf x t mathbf Ax t 1 mathbf Bx t 2 nbsp 变量向量x 尺寸为n 1 A B 尺寸为n n 则可以叠加为下列形式 x t x t 1 A B I 0 x t 1 x t 2 displaystyle begin bmatrix mathbf x t mathbf x t 1 end bmatrix begin bmatrix mathbf A amp mathbf B mathbf I amp mathbf 0 end bmatrix begin bmatrix mathbf x t 1 mathbf x t 2 end bmatrix nbsp 其中I 是n n 单位矩阵 0 是n n 零矩阵 然后将当前变量和一度滞后变量的2n 1 叠加向量表示为zt 将2n 2n 分块矩阵表示为L 就得到了之前的解 z t L t z 0 displaystyle mathbf z t mathbf L t mathbf z 0 nbsp 与之前一样 当且仅当矩阵L 的所有特征值的绝对值都小于1时 叠加方程与原二阶方程才稳定 非线性矩阵差分方程 黎卡提方程 编辑在LQG控制中 会出现一个当前和未来成本矩阵反向演化的非线性矩阵方程 下面用H 表示 这个方程也被称为离散动力黎卡提方程 当据线性矩阵差分方程演化的变量向量受外源向量的控制 以优化二次损失函数时 就会产生这个方程 黎卡提方程形式如下 H t 1 K A H t A A H t C C H t C R 1 C H t A displaystyle mathbf H t 1 mathbf K mathbf A mathbf H t mathbf A mathbf A mathbf H t mathbf C left mathbf C mathbf H t mathbf C mathbf R right 1 mathbf C mathbf H t mathbf A nbsp 其中H K A 尺寸为n n C 尺寸为n k R 尺寸为k k n 是受控向量元素数 k 是控制向量元素数 参数矩阵A C 来自线性方程 参数矩阵K R 来自二次损失函数 详见此处 一般来说 该方程无法根据t 分析求解Ht 而是通过迭代黎卡提方程 求出Ht 的值序列 不过 已经证明 3 若R 0 n k 1 则可将黎卡提方程简化为标量有理差分方程分析求解 对任意k n 若转移矩阵A 可逆 则黎卡提方程就可根据矩阵特征值进行分析求解 尽管特征值可能要用数值计算才能找到 4 在大多数情况下 H 随时间的演化是稳定的 也就是说H 会收敛到特定的常矩阵H 其他矩阵都有理时也可能是无理的 参见隨機控制 離散時間系統 相关的黎卡提方程 5 是 X t 1 E B X t C A X t 1 displaystyle mathbf X t 1 left mathbf E mathbf B mathbf X t right left mathbf C mathbf A mathbf X t right 1 nbsp 其中X A B C E 全都是n n 方阵 这个方程可以显式求解 假设X t N t D t 1 displaystyle mathbf X t mathbf N t mathbf D t 1 nbsp 在t 0 时N0 X0 D0 I 显然成立 然后将其用于差分方程 得出 X t 1 E B N t D t 1 D t D t 1 C A N t D t 1 1 E D t B N t C A N t D t 1 D t 1 E D t B N t C D t A N t 1 N t 1 D t 1 1 displaystyle begin aligned mathbf X t 1 amp left mathbf E mathbf BN t mathbf D t 1 right mathbf D t mathbf D t 1 left mathbf C mathbf AN t mathbf D t 1 right 1 amp left mathbf ED t mathbf BN t right left left mathbf C mathbf AN t mathbf D t 1 right mathbf D t right 1 amp left mathbf ED t mathbf BN t right left mathbf CD t mathbf AN t right 1 amp mathbf N t 1 mathbf D t 1 1 end aligned nbsp 因此通过归纳法 形式X t N t D t 1 displaystyle mathbf X t mathbf N t mathbf D t 1 nbsp 对所有t 都成立 那么N D 的演化可写为 N t 1 D t 1 B E A C N t D t J N t D t displaystyle begin bmatrix mathbf N t 1 mathbf D t 1 end bmatrix begin bmatrix mathbf B amp mathbf E mathbf A amp mathbf C end bmatrix begin bmatrix mathbf N t mathbf D t end bmatrix equiv mathbf J begin bmatrix mathbf N t mathbf D t end bmatrix nbsp 因此可归纳 N t D t J t N 0 D 0 displaystyle begin bmatrix mathbf N t mathbf D t end bmatrix mathbf J t begin bmatrix mathbf N 0 mathbf D 0 end bmatrix nbsp 另见 编辑矩阵微分方程 差分方程 线性差分方程 动力系统 代数Riccati方程参考文献 编辑 Cull Paul Flahive Mary Robson Robbie Difference Equations From Rabbits to Chaos Springer 2005 ch 7 ISBN 0 387 23234 6 Chiang Alpha C Fundamental Methods of Mathematical Economics nbsp 3rd McGraw Hill 1984 608 612 ISBN 9780070107809 含有內容需登入查看的頁面 link Balvers Ronald J Mitchell Douglas W Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems PDF Journal of Economic Dynamics and Control 2007 31 1 141 159 2023 10 15 doi 10 1016 j jedc 2005 09 013 原始内容存档 PDF 于2022 01 18 Vaughan D R A nonrecursive algebraic solution for the discrete Riccati equation IEEE Transactions on Automatic Control 1970 15 5 597 599 doi 10 1109 TAC 1970 1099549 Martin C F Ammar G The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method Bittani Laub Willems 编 The Riccati Equation Springer Verlag 1991 ISBN 978 3 642 63508 3 doi 10 1007 978 3 642 58223 3 5 取自 https zh wikipedia org w index php title 矩阵差分方程 amp oldid 79455823, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,