皮克定理

給定頂點座標均是整點（或正方形格子點）的簡單多邊形，皮克定理說明了其面積 ${\displaystyle A}$ 和內部格點數目 ${\displaystyle i}$ 、邊上格點數目 ${\displaystyle b}$ 的關係：${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1}$。

${\displaystyle b=14,i=39,A=45}$

證明

因為所有簡單多邊形都可切割為一個三角形和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形 ${\displaystyle P}$  ，及跟 ${\displaystyle P}$  有一條共同邊的三角形 ${\displaystyle T}$  。若 ${\displaystyle P}$  符合皮克公式，則只要證明 ${\displaystyle P}$  加上 ${\displaystyle T}$  的 ${\displaystyle PT}$  亦符合皮克公式（I），與及三角形符合皮克公式（II），就可根據數學歸納法，對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。

多邊形

設 ${\displaystyle P}$  和 ${\displaystyle T}$  的共同邊上有 ${\displaystyle c}$  個格點。

• ${\displaystyle P}$  的面積： ${\displaystyle i_{P}+{\frac {b_{P}}{2}}-1}$ 
• ${\displaystyle T}$  的面積： ${\displaystyle i_{T}+{\frac {b_{T}}{2}}-1}$ 
• ${\displaystyle PT}$  的面積：

${\displaystyle (i_{T}+i_{P}+c-2)+{\frac {b_{T}-c+b_{P}-c+2}{2}}-1}$ 

${\displaystyle =i_{PT}+{\frac {b_{PT}}{2}}-1}$ 

三角形

證明分三部分：證明以下的圖形符合皮克定理：

1. 所有平行於軸線的矩形；
2. 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形；
3. 所有三角形（因為它們都可內接於矩形內，將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形）。

矩形

設矩形 ${\displaystyle R}$  長邊短邊各有${\displaystyle m}$ ,${\displaystyle n}$ 個格點：

• ${\displaystyle A_{R}=(m-1)(n-1)}$ 
• ${\displaystyle i_{R}=(m-2)(n-2)}$ 
• ${\displaystyle b_{R}=2(m+n)-4}$ 

${\displaystyle i_{R}+{\frac {b_{R}}{2}}-1}$ 

${\displaystyle =(m-2)(n-2)+(m+n)-2-1}$ 

${\displaystyle =mn-(m+n)+1}$ 

${\displaystyle =(m-1)(n-1)}$ 

直角三角形

易見兩條鄰邊和對角線組成的兩個直角三角形全等，且 ${\displaystyle i}$  , ${\displaystyle b}$  相等。設其斜邊上有 ${\displaystyle c}$  個格點。

• ${\displaystyle b=m+n+c-3}$ 
• ${\displaystyle i={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}}$ 

${\displaystyle i+{\frac {b}{2}}-1}$ 

${\displaystyle ={\frac {(m-2)(n-2)-c+2}{2}}+{\frac {m+n+c-3}{2}}-1}$ 

${\displaystyle ={\frac {(m-2)(n-2)}{2}}+{\frac {m+n-3}{2}}}$ 

${\displaystyle ={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}}$ 

一般三角形

逆运用前面对2个多边形的证明：

既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，则 ${\displaystyle P}$  加上 ${\displaystyle T}$  的 ${\displaystyle PT}$  亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。

于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。

推廣

• 取格點的組成圖形的面積為一單位。在平行四邊形格點，皮克定理依然成立。套用於任意三角形格點，皮克定理則是${\displaystyle A=2*i+b-2}$ 。
• 對於非簡單的多邊形${\displaystyle P}$ ，皮克定理${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-\chi (P)}$ ，其中 ${\displaystyle \chi (P)}$  表示 ${\displaystyle P}$  的欧拉示性数。
• 高維推廣：Ehrhart多項式；一維：植樹問題。
• 皮克定理和歐拉公式（${\displaystyle V-E+F=2}$ ）等價。

定理提出者

Georg Alexander Pick，1859年生於維也納，1943年死於特萊西恩施塔特集中營。

相關書籍

• 《格點和面積》 閔嗣鶴著

外部連結

• 以皮克定理證明歐拉公式 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英）
• 談求面積的 Pick 公式，蔡聰明 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml （页面存档备份，存于互联网档案馆）