瑞利分布

瑞利分布（Rayleigh distribution），又译为莱利分布，当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差、均值为0的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。例如，当随机复数的实部和虚部独立同分布于0均值，同方差的正态分布时，该复数的绝对值服从瑞利分布。该分布是以瑞利命名的。

瑞利分布

概率密度函數
累積分布函數
参数	${\displaystyle \sigma >0\,}$
值域	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
概率密度函数	${\displaystyle {\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}}$
累積分布函數	${\displaystyle 1-\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
期望值	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$
中位數	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\ln(4)}}\,}$
眾數	${\displaystyle \sigma \,}$
方差	${\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
偏度	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}$
峰度	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}$
熵	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$
矩生成函数	${\displaystyle 1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)}$
特徵函数	${\displaystyle 1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)}$

瑞利分布的概率密度函数是^[1]

${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}},\quad x\geq 0,}$

参见

• 瑞利散射
• 莱斯衰落信道（英语：Rician fading）

參考文獻

1. Athanasios Papoulis, S Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", 2001, ISBN 0073660116 / 9780073660110