狄利克雷積分, 在数学中, 有不只一个积分称作, 都由德國數學家約翰, 彼得, 古斯塔夫, 勒熱納, 狄利克雷提出, 其中一个內容如下, displaystyle, infty, frac, frac, 这个积分不是绝对收敛的, 因此勒貝格積分甚至不能定义这个积分, 但它在黎曼积分或henstock, kurzweil积分是有定义的, 可以通过多种方式导出这个, 黎曼或henstock, 积分的值, 例如, 该值可以通过计算双反常积分确定, 也可以通过在积分符号内取微分来确定, 目录, 求值, 双反常积分的方法, . 在数学中 有不只一个积分称作狄利克雷積分 都由德國數學家約翰 彼得 古斯塔夫 勒熱納 狄利克雷提出 其中一个內容如下 1 0 sin x x d x p 2 displaystyle int 0 infty frac sin x x dx frac pi 2 这个积分不是绝对收敛的 因此勒貝格積分甚至不能定义这个积分 但它在黎曼积分或Henstock Kurzweil积分是有定义的 2 可以通过多种方式导出这个 黎曼或Henstock 积分的值 例如 该值可以通过计算双反常积分确定 也可以通过在积分符号内取微分来确定 目录 1 求值 1 1 双反常积分的方法 1 2 积分符号内取微分 1 3 複积分 2 初等證明 2 1 收斂性 2 2 收斂值 3 参见 4 參考資料 5 外部链接求值 编辑双反常积分的方法 编辑 拉普拉斯变换特性的预备知识让我们能以下面的方式简洁地计算这个狄利克雷积分 0 sin t t d t 0 L sin t s d s 0 1 s 2 1 d s arctan s 0 p 2 displaystyle int 0 infty frac sin t t dt int 0 infty mathcal L sin t s ds int 0 infty frac 1 s 2 1 ds arctan s bigg 0 infty frac pi 2 nbsp 其中L sin t s displaystyle mathcal L sin t s nbsp 是函数sin t displaystyle sin t nbsp 的拉普拉斯变换 运用欧拉公式 然后积分 使得分母为实数 并取虚部 我们发现该拉普拉斯变换是拉普拉斯变量 s 的函数1 s 2 1 displaystyle tfrac 1 s 2 1 nbsp 这相当于尝试用两种不同方式求同一个二重定积分 通过颠倒积分的顺序 即 I 1 0 0 e s t sin t d t d s I 2 0 0 e s t sin t d s d t displaystyle left I 1 int 0 infty int 0 infty e st sin t dt ds right left I 2 int 0 infty int 0 infty e st sin t ds dt right nbsp I 1 0 1 s 2 1 d s p 2 I 2 0 sin t 1 t d t provided s gt 0 displaystyle left I 1 int 0 infty frac 1 s 2 1 ds frac pi 2 right left I 2 int 0 infty sin t frac 1 t dt right text provided s gt 0 nbsp 积分符号内取微分 编辑 首先改写积分作为以a displaystyle a nbsp 为变量的函数 令 f a 0 e a w sin w w d w displaystyle f a int 0 infty e a omega frac sin omega omega d omega nbsp 那么我们需要求f 0 displaystyle f 0 nbsp 对a displaystyle a nbsp 微分并运用莱布尼茨积分法则得 d f d a d d a 0 e a w sin w w d w 0 a e a w sin w w d w 0 e a w sin w d w L sin w a displaystyle frac df da frac d da int 0 infty e a omega frac sin omega omega d omega int 0 infty frac partial partial a e a omega frac sin omega omega d omega int 0 infty e a omega sin omega d omega mathcal L sin omega a nbsp 上面我们基于拉普拉斯变换表不经证明地求得了这个积分 这一次我们进行推导 通过回顾欧拉公式 e i w cos w i sin w displaystyle e i omega cos omega i sin omega nbsp 那么 ℑ e i w sin w displaystyle Im e i omega sin omega nbsp 其中ℑ displaystyle Im nbsp 表示虚部 d f d a ℑ 0 e a w e i w d w ℑ 1 a i ℑ a i a 2 1 1 a 2 1 given that a gt 0 displaystyle therefore frac df da Im int 0 infty e a omega e i omega d omega Im frac 1 a i Im frac a i a 2 1 frac 1 a 2 1 text given that a gt 0 nbsp 对a displaystyle a nbsp 积分 f a d a a 2 1 A arctan a displaystyle f a int frac da a 2 1 A arctan a nbsp 其中 A displaystyle A nbsp 是待确定的一个常数 由于 f 0 A arctan p 2 m p displaystyle f infty 0 therefore A arctan infty frac pi 2 m pi nbsp f 0 lim a 0 f a p 2 m p arctan 0 p 2 n p displaystyle therefore f 0 lim a to 0 f a frac pi 2 m pi arctan 0 frac pi 2 n pi nbsp m 和 n 为整数 通过分析容易观察的边界 容易证明n displaystyle n nbsp 必为零 该积分 0 lt 0 sin x x d x lt 0 p sin x x d x lt p displaystyle 0 lt int 0 infty frac sin x x dx lt int 0 pi frac sin x x dx lt pi nbsp 左侧和右侧边界可以通过把积分区域 0 displaystyle 0 infty nbsp 分割为周期性的区间导出 在其上积分值为零 左边界 0 sin x x d x n 0 n 2 p n 2 p n 1 sin x x d x n 0 n 0 2 p sin x 2 p n x d x gt n 0 n 0 2 p sin x 2 p n 1 d x 0 displaystyle int 0 infty frac sin x x dx sum n 0 n infty int 2 pi n 2 pi n 1 frac sin x x dx sum n 0 n infty int 0 2 pi frac sin x 2 pi n x dx gt sum n 0 n infty int 0 2 pi frac sin x 2 pi n 1 dx 0 nbsp 右边界 0 sin x x d x 0 p sin x x d x p sin x x d x displaystyle int 0 infty frac sin x x dx int 0 pi frac sin x x dx int pi infty frac sin x x dx nbsp 第二项是零 对于左边界可以用同样的方法来证明 第一项 0 p sin x x d x displaystyle int 0 pi frac sin x x dx nbsp 得证 引进另一个变量来进一步延伸这一结果 首先指出 sin x x displaystyle sin x x nbsp 是偶函数 所以 0 sin x x d x 0 sin x x d x 0 sin x x d x displaystyle int 0 infty frac sin x x dx int infty 0 frac sin x x dx int 0 infty frac sin x x dx nbsp 则 0 sin b w w d w 0 b sin b w b w d b w 0 sgn b sin x x d x sgn b 0 sin x x d x p 2 sgn b displaystyle int 0 infty frac sin b omega omega d omega int 0 b infty frac sin b omega b omega d b omega int 0 operatorname sgn b times infty frac sin x x dx operatorname sgn b int 0 infty frac sin x x dx frac pi 2 operatorname sgn b nbsp 複积分 编辑 可通过复积分获得相同的结果 让我们考虑 f z e i z z displaystyle f z frac e iz z nbsp 作为复变量 z 的函数 它在原点是一个单极点 阻止了我们使用其他假设都满足的Jordan引理 我们再定义一个新函数 3 g z 如下 g z e i z z i ϵ displaystyle g z frac e iz z i epsilon nbsp 极点已被移离实轴 所以 g z 的可沿半径为 R 中心在 z 0 且与实轴围成的封闭半圆积分 然后取极限ϵ 0 displaystyle epsilon rightarrow 0 nbsp 由留数定理知复积分为零 因为积分路径内不存在极点 0 g g z d z R R e i x x i ϵ d x 0 p e i R e i 8 8 R e i 8 i ϵ i R d 8 displaystyle 0 int gamma g z dz int R R frac e ix x i epsilon dx int 0 pi frac e i Re i theta theta Re i theta i epsilon iRd theta nbsp 随着 R 趋向无穷大 第二项消失 对任意小的ϵ displaystyle epsilon nbsp 对第一项运用索霍茨基 魏尔斯特拉斯定理得 0 P V e i x x d x p i d x e i x d x displaystyle 0 mathrm P V int frac e ix x dx pi i int infty infty delta x e ix dx nbsp 其中 P V 表示柯西主值 通过两侧取虚部 并注意到 s i n c x displaystyle mathrm sinc x nbsp 是偶函数 由定义s i n c 0 1 displaystyle mathrm sinc 0 1 nbsp 于是我们得到想要的结果 lim ϵ 0 ϵ sin x x d x 0 sin x x d x p 2 displaystyle lim epsilon rightarrow 0 int epsilon infty frac sin x x dx int 0 infty frac sin x x dx frac pi 2 nbsp 初等證明 编辑收斂性 编辑 0 sin x x d x lim a 0 a sin x x d x lim a 0 a 1 x d 1 cos x lim a 1 cos x x 0 a 0 a 1 cos x d 1 x lim a 2 sin 2 x 2 x 0 a 0 a 2 sin 2 x 2 x 2 d x lim a 0 1 2 sin 2 x 2 x 2 d x 1 a 2 sin 2 x 2 x 2 d x lt 0 1 2 sin 2 x 2 x 2 d x lim a 1 a 2 x 2 d x 0 1 2 sin 2 x 2 x 2 d x 2 displaystyle begin aligned int 0 infty frac sin x x dx amp lim a to infty int 0 a frac sin x x dx lim a to infty int 0 a frac 1 x d 1 cos x lim a to infty frac 1 cos x x 0 a int 0 a 1 cos x d frac 1 x amp lim a to infty frac 2 sin 2 frac x 2 x 0 a int 0 a frac 2 sin 2 frac x 2 x 2 dx lim a to infty int 0 1 frac 2 sin 2 frac x 2 x 2 dx int 1 a frac 2 sin 2 frac x 2 x 2 dx amp lt int 0 1 frac 2 sin 2 frac x 2 x 2 dx lim a to infty int 1 a frac 2 x 2 dx int 0 1 frac 2 sin 2 frac x 2 x 2 dx 2 end aligned nbsp 因為lim a 0 1 2 sin 2 x 2 x 2 d x 1 a 2 sin 2 x 2 x 2 d x displaystyle lim a to infty int 0 1 frac 2 sin 2 frac x 2 x 2 dx int 1 a frac 2 sin 2 frac x 2 x 2 dx nbsp 遞增並且有上界 0 1 2 sin 2 x 2 x 2 d x 2 displaystyle int 0 1 frac 2 sin 2 frac x 2 x 2 dx 2 nbsp 故由單調收斂定理知 0 sin x x d x displaystyle int 0 infty frac sin x x dx nbsp 有極限值I displaystyle I nbsp 收斂值 编辑 0 sin x x d x lim a 0 a sin x x d x displaystyle int 0 infty frac sin x x dx lim a to infty int 0 a frac sin x x dx nbsp 令l a p z x l 則 a lx x lz lim a 0 a sin x x d x lim a 0 a sin x x l d x l lim l 0 p sin l z z d z lim l 0 p sin l z 2 sin z 2 d z 0 p sin l z 1 z 1 2 sin z 2 d z displaystyle begin aligned lim a to infty int 0 a frac sin x x dx amp lim a to infty int 0 a frac sin x frac x lambda d frac x lambda lim lambda to infty int 0 pi frac sin lambda z z dz amp lim lambda to infty int 0 pi frac sin lambda z 2 sin frac z 2 dz int 0 pi sin lambda z frac 1 z frac 1 2 sin frac z 2 dz end aligned nbsp lim z 0 1 z 1 2 sin z 2 0 displaystyle because lim z to 0 frac 1 z frac 1 2 sin frac z 2 0 nbsp h x 1 z 1 2 sin z 2 if 0 lt x p 0 if x 0 displaystyle therefore h x left begin matrix frac 1 z frac 1 2 sin frac z 2 amp mbox if 0 lt x leq pi 0 amp mbox if x 0 end matrix right nbsp h x 在區間 0 p 連續 所以h x 有上下界 又直接計算可以發現 lim l 0 p sin l z d z 0 displaystyle lim lambda to infty int 0 pi sin lambda zdz 0 nbsp 故 lim l 0 p sin l z 1 z 1 2 sin z 2 d z 0 displaystyle lim lambda to infty int 0 pi sin lambda z frac 1 z frac 1 2 sin frac z 2 dz 0 nbsp 于是 I lim l 0 p sin l z 2 sin z 2 d z 0 p sin l z 1 z 1 2 sin z 2 d z lim l 0 p sin l z 2 sin z 2 d z displaystyle I lim lambda to infty int 0 pi frac sin lambda z 2 sin frac z 2 dz int 0 pi sin lambda z frac 1 z frac 1 2 sin frac z 2 dz lim lambda to infty int 0 pi frac sin lambda z 2 sin frac z 2 dz nbsp 因為lim l 0 p sin l z 2 sin z 2 d z displaystyle lim lambda to infty int 0 pi frac sin lambda z 2 sin frac z 2 dz nbsp 存在收斂值 I 故lim n 0 p sin n 1 2 z 2 sin z 2 d z n N displaystyle lim n to infty int 0 pi frac sin n frac 1 2 z 2 sin frac z 2 dz n in mathbb N nbsp 亦收斂至 I I lim n 0 p sin n 1 2 z 2 sin z 2 d z lim n 0 p 1 2 k 1 n cos k z d z lim n p 2 k 1 n sin k z k 0 p p 2 displaystyle I lim n to infty int 0 pi frac sin n frac 1 2 z 2 sin frac z 2 dz lim n to infty int 0 pi frac 1 2 sum k 1 n cos kz dz lim n to infty frac pi 2 sum k 1 n frac sin kz k 0 pi frac pi 2 nbsp 参见 编辑狄利克雷原理參考資料 编辑 存档副本 PDF 2015 03 02 原始内容存档 PDF 于2020 11 25 Robert G Bartle Return to the Riemann Integral 页面存档备份 存于互联网档案馆 The American Mathematical Monthly vol 103 1996 pp 625 632 Appel Walter Mathematics for Physics and Physicists Princeton University Press 2007 p 226 外部链接 编辑埃里克 韦斯坦因 Dirichlet Integrals MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 狄利克雷積分 amp oldid 69647215, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,