《测圆海镜》由卷一的圆城图式、说明各个长度名称的总率名号、给出各个长度数值的今问正数、囊括了各个量之间关系的公式总集识别杂记;卷二至卷十二,共一百七十个问题及其解答所组成。书中一共有148问,182种方法是以天元术列出方程以求解,其中列出一次方程31个,二次方程106个,三次方程24个,四次方程20个,六次方程1个[1]
卷一 编辑
圆城图式 编辑
圆城图式(右图)是全书的总括图解,由一个直角三角形(古时称为勾股形)、它的内切圆以及一些特定的点和直线组成。其中的顶点、圆心和交点都用某个汉字来指代。最大的三角形的三个顶点分别是天、地、乾,天地乾三角形的内切圆圆心称为心。过心的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于日、南、北三点。过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点。过东的垂直线和过南的水平线都是内切圆的切线,它们分别交天地乾三角形于艮、坤、山、月四点,而相交于巽点。乾坤巽艮构成一个正方形。过月的垂直线交东西水平线于青点,交地乾边于泉点。过山的水平线交南北垂直线于朱点,交天乾边于金点。而这两条线相交于泛点。最后过日的水平线交天乾边于旦点,过川的垂直线交地乾边于夕点。总共22个点。
总率名号 编辑
全书所研究的三角形一共有15个,全部是以天地线之间的线段为弦(斜边)的直角三角形。总率名号给出了这些三角形和线段的名称。它们分别是:
序号 | 三角形名称 | 对应的三个顶点 | 弦0c | 股0b | 勾0a |
---|
1 | 通 | 天地乾 | 通弦(天地) | 通股(天乾) | 通勾(地乾) |
2 | 边 | 天西川 | 边弦(天川) | 边股(天西) | 边勾(西川) |
3 | 底 | 日地北 | 底弦(日地) | 底股(日北) | 底勾(地北) |
4 | 黄广 | 天山金 | 黄广弦(天山) | 黄广股(天金) | 黄广勾(山金) |
5 | 黄长 | 月地泉 | 黄长弦(月地) | 黄长股(月泉) | 黄长勾(地泉) |
6 | 上高 | 天日旦 | 上高弦(天日) | 上高股(天旦) | 上高勾(日旦) |
7 | 下高 | 日山朱 | 下高弦(日山) | 下高股(日朱) | 下高勾(山朱) |
8 | 上平 | 月川青 | 上平弦(月川) | 上平股(月青) | 上平勾(川青) |
9 | 下平 | 川地夕 | 下平弦(川地) | 下平股(川夕) | 下平勾(地夕) |
10 | 大差 | 天月坤 | 大差弦(天月) | 大差股(天坤) | 大差勾(月坤) |
11 | 小差 | 山地艮 | 小差弦(山地) | 小差股(山艮) | 小差勾(地艮) |
12 | 皇极 | 日川心 | 皇极弦(日川) | 皇极股(日心) | 皇极勾(川心) |
13 | 太虚 | 月山泛 | 太虚弦(月山) | 太虚股(月泛) | 太虚勾(山泛) |
14 | 明 | 日月南 | 明弦(日月) | 明股(日南) | 明勾(月南) |
15 | 叀 | 山川东 | 叀弦(山川) | 叀股(山东) | 叀勾(川东) |
其中弦是三角形斜边,股是三角形的长直角边(这里是竖直的),勾是三角形短直角边(这里是水平的)。( 代表通勾, 代表通股, 代表通弦,余类推)。
今问正数 编辑
今问正数一节给出了圆城图式中每个线段的长度。其中以内切圆的半径为120步,作为标准。
- 弦
- 勾
- 股
- 勾股和:a + b
- 勾股校:b - a
- 勾弦和:a + c
- 勾弦校:c - a
- 股弦和:b + c
- 股弦校:c - b
- 弦校和:c + (b - a)
- 弦校校:c - (b - a)
- 弦和和:(a + b) + c
- 弦和校:(a + b) - c
例子:「通弦六百八十,勾三百二十,股六百;勾股和九百二十,较(兩者的差)二百八十;勾弦和一千,较三百六十;股弦和一千二百八十,较八十;弦较和九百六十,较四百;弦和和一千六百,较二百四十。」
15个勾股形中上高 = 下高;上平 = 下平,因此,15个勾股形中,只有13个勾股形是相异的。
《今问正数》共15个勾股形×13项=195项[2]。 ,列表如下。
识别杂记 编辑
识别杂记都是关于不同线段之间的几何关系式。一共给出了692个公式。是全书的纲领。
识别杂记包含八项:
- 诸杂名目:是全书的总纲,列出各项定义,例如虚勾虚股相得名为虚率,高股平勾差名为角差,又名远差等等。诸杂名目中还列出三十余项定理,如凡大差小差相乘为半段径幂,大差勾小差股相乘同上、黄广股黄长勾相乘为经幂等等。
名目 编辑
名目 | 定义 |
---|
内率 | |
外率 | |
虚率 | |
角差 | |
次差 | |
混同和 | |
傍差 | |
夎差 | |
夎和 | |
杂用公式 编辑
[3]
- = *
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- =
- = =
五和五较 编辑
- [4]
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
此外还有诸弦,大小差,诸差,诸率互见,四位拾遗,拾遗。
一共692关系式,这些关系式完全是几何定理,与具体数值无关。
举例:第三条中“勾股和即弦黄和”一句就是:三角形两直角边之和等于斜边加上内切圆直径(“黄”指内切圆直径)。这个命题可以由直角三角形的勾股定理推出:
- 设直角三角形三边分别为 、 、 ,其中
- 内接圆直径 ,因此
- 内接圆直径 + 斜边 =
-
- = 两直角边之和
后面出现的各问题,都根据这些公式中的相等关系而列出方程,然后求解。
李冶的692个公式中,有8个是错误的,只是因为数值吻合而被误认为成立。
新设第一率 编辑
新设第二率 编辑
新设第三率 编辑
新设第四率 编辑
第二卷 编辑
- 正率14问
从第二卷开始,《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题,它们都是围绕着同一个题设背景而展开。 在第二卷开头,李冶作出了以后题目公用的总假设:
假令圆城一所,不知周径,四面开门,门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为乾地,其东北十字道头定为艮地,其东南十字道头定为巽地,其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法,一一设问如后。 |
这里的圆城就是指天地乾三角形的内切圆,其方向按照圆城图式里面东南西北四个点的位置而定(注意北在下方,东在左边,与现在通用的方位相反),所谓的“乾地”、“坤地”则是指圆城图式里面出现的乾点、坤点等等。以后的每个问题中要求的长度都是圆城的半径或直径。
接下来的问题都是已知某些线段的长度,问圆城的半径或直径。李冶在每一题的题目之后都先写出解法(代数演算),再给出演草(代入数值的计算)。
- 洞渊九容
开头十个问题,不需要天元方程。清代数学李善兰认为,第一个问题和《九章算术》的勾股容圆题目一样,第二问至第十问就是《自序》中提到的“洞渊九容”[5]。但李冶原书或《四库全书》李锐较本都没有这九个问题的细草,李善兰在《天算或问》一书中根据相似三角形原理求得各式,并以第二问为例阐明如下[6]:
-
-
又因:
-
所以
-
- 得
-
其余类推。 。
- 第一问:或问:甲乙二人俱在乾地,乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙,问径几里?
- 答曰:城径二百四十步。
勾股容圆
-
- 第二问:勾上容圆
- 第三问:股上容圆
- 第四问:勾股上容圆
- 第五问:弦上容圆
- 第六问:勾外容圆
- 第七问:股外容圆
- 第八问:弦外容圆
- 第九问:勾外容圆半
- 第十问:股外容圆半
- 天元术
从第十四题开始,引入天元术,将所求的未知量设为“天元”,然后根据识别杂记中给出的公式构造出两个天元式,另其相等,然后解方程得出答案。《测圆海镜》中天元式的次序,高次幂在常数项之上,和《益古演段》,《四元玉鉴》的相反。
- 第十四问
“或问出西门南行四百八十步有树,出北门东行二百步见之。问答同前”。
- 法曰:以二行步相乘为实,二行步相并为从,一步常法,得半径。
- 草曰:立天元一为半径,置南行步在地,
内减天元半径得股圆差:
- 元
- 。
又置乙东行步在地,内减天元,得勾圆差:
- 元
-
以勾圆差增乘股圆差得半段黄方幂:
-
- 元
-
又置天元幂以倍之,也为半段黄方幂;
-
- 元
因此,得
相消得:
-
- 元
-
解方程,得半径 。
第三卷 编辑
- 边股17问 [7]
标题文字 | 已知 | 未知数x | 方程 |
---|
1 | < , | | 直接计算 |
2 | , | d | |
3 | , | r | |
4 | , | d | |
5 | , | d | |
6 | , | r | |
7 | , | r | |
8 | , | r | |
9 | , | r | |
10 | , | r | |
11 | , | r | |
12 | , | | |
13 | , | | |
14 | , | | |
15 | , | r | |
16 | , | | 用洞渊九容公式计算 |
17 | , | | 用洞渊九容公式计算 |
第四卷 编辑
- 底勾17问:已知 及另一边求直径d.[8]
。
第三卷边股问与第四卷同次第底勾问成对偶。
问 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
---|
第二边 | | | | | | | | | | | | | | | | | |
第五卷 编辑
大股18问:已知 。[8]
问 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
---|
第二边 | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
第六卷 编辑
大勾18问:
- 1-11,13-19已知a_{1},及另一边求直径d.[8]
- 12问:已知 及另边,求直径。
问 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
---|
已知 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
第二边 | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
第七卷 编辑
明叀前18问;求直径d。[9]
问 | 已知 |
---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | , |
11 | , |
12 | , |
13 | , |
14 | , , |
15 | , |
16 | , |
17 | , |
18 | , |
第八卷 编辑
- 边股17问:已知 三至八边,或其差,和,求直径d.[10]
问 | 已知 |
---|
1 | , , |
2 | , , |
3 | , |
4 | , |
5 | , |
6 | , |
7 | , |
8 | , |
9 | , |
10 | , , |
11 | , , |
12 | , |
13 | , , |
14 | , |
15 | , |
16 | , |
第十四问 编辑
- 或问:高差,平差并一百六十一步,明差叀差并七十七步,问答同前。
- 即:
草曰:[11]
已知
-
-
- 相加除2 ; 根据#杂用公式,等于皇极差:
-
-
- 设天元一为上平勾:
-
- =
- (杂用公式)
- 因为 (杂用公式)
-
-
-
-
- (圆城直径),
-
- 将 乘下高股
-
- 乘之以皇极弦幂:
-
- 因此
-
- 左右相消得:
- 解之得 ;
- 正合#今问正数中的下平勾。
第九卷上 编辑
:大斜四问[12]
问 | 已知 |
---|
1 | , |
2 | , |
3 | , |
4 | , |
第九卷下 编辑
:大和8问
- 边股17问:已知三边,求直径d[13]。
问 | 已知条件 |
---|
1 | , , |
2 | , , |
3 | , , |
4 | , , |
5 | , , |
6 | , , |
7 | , , |
8 | , , |
第十卷 编辑
:三事和8问[14]
问 | 已知 |
---|
1 | , |