正則素數

未解決的数学問題：是否有無窮個正則素數，且其分布密度為${\displaystyle e^{-1/2}}$？

正則素數是一種質數，由恩斯特·庫默爾在1847年為了處理費馬最後定理而引入。它具有許多種等價的定義方式。其中之一是：

定義. 素數 ${\displaystyle p}$ 是正則素數，若且唯若 ${\displaystyle p}$ 不整除分圓域 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$ 的類數。此定義簡單卻不易計算。

另一種定義方式是：素數 ${\displaystyle p}$ 是正則素數，若且唯若 ${\displaystyle p}$ 不整除伯努利數 ${\displaystyle B_{k}\quad (2\leq k\leq p-3,2|k)}$ 的分子。

頭幾個正則素數為：

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... （OEIS數列A007703）

庫默爾證明了：當 ${\displaystyle p}$ 是正則素數時，${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$ 不存在非零整數解。最小的10個非正則素數是 37、59、67、101、103、131、149、157、233、257（OEIS數列A000928）。 已知存在無窮多個非正則素數，而迄今仍未知是否存在無窮多個正則素數。

文獻

• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section D2.