理想類群

理想類群是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。它描述了一個數域的理想與元素的差異。理想類群是有限交換群，其元素個數稱作該域的類數。

形式定義

設 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$  為戴德金整環。此時 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$  中的非零理想對乘法構成一個交換么半群。

今將定義其上的等價關係：設 ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$  為二非零理想，定義

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\sim {\mathfrak {b}}\Leftrightarrow \exists s,t\in {\mathcal {O}}^{\times }\;(s){\mathfrak {a}}=(t){\mathfrak {b}}}$ 

理想么半群對此關係的商構成一個交換群 ${\displaystyle \mathrm {Cl} ({\mathcal {O}})}$ ，稱為 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$  的理想類群。

另一套進路是考慮 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$  的非零分式理想構成之交換群，再考慮它對主分式理想 ${\displaystyle \{(q):q\in K^{\times }\}}$  之商，由此得到的對象自然同構於理想類群。

性質

• 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為主理想環。
• 設 ${\displaystyle K}$  為數域，${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  為其中的代數整數環，因而是戴德金整環。此時可證明 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$  是有限群。其元素個數記為 ${\displaystyle h_{K}}$ ，稱作類數。

例子

考慮二次域 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$ 。考慮理想

${\displaystyle J=(2,1+{\sqrt {-5}})}$ 。

易證此非主理想，因此理想類群非零。事實上，其理想類群是二階循環群。